С линейно упорядоченными множествами связана известная гипотеза Суслина, выдвинутая в 1920 году.

В R открытым интервалом (a;b), где a<b, называется множество таких чисел x, что a < x < b. Поскольку Q плотно в R, каждый открытый интервал содержит хотя бы одно рациональное число. А поскольку Q счётно, любое семейство попарно не пересекающихся открытых интервалов R либо конечно, либо счётно.
Пусть теперь M - произвольное плотное линейно упорядоченное множество. Если любое семейство попарно не пересекающихся открытых интервалов в M не более чем счётно, то мы говорим, что M удовлетворяет условию счётности цепей, или условию Суслина.

Гипотеза Суслина, SH: пусть непрерывное плотное неограниченное линейно упорядоченное множество удовлетворяет счётности цепей, тогда оно порядково изоморфно R.
Контрпример к гипотезе Суслина - множество, обладающее такими свойствами, но не изоморфное R - называется суслинской линией, или континуумом Суслина. Гипотеза Суслина в том, что суслинских линий нет. Континуум Суслина обладает в некотором смысле пугающими свойствами, и, более того, даже порождает небольшой зоопарк из противоестественных объектов, поэтому вполне объяснимо желание доказать несуществование линий Суслина. Однако как показали в 1967-1971 годах Йех, Тенненбаум и Соловэй, гипотезу Суслина нельзя ни доказать, ни опровергнуть в ZFC. Для доказательства неопровержимости гипотезы эти учёные брали множество, подходящее под условия гипотезы Суслина, некоторым образом выращивали из него так называемое дерево Суслина и небольшой переделкой превращали дерево Суслина в континуум Суслина. Для доказательства недоказуемости гипотезы они изобрели способ убивать деревья Суслина; единожды убитое дерево становилось мёртвым. С помощью некоторой продвинутой версии коэновского метода форсинга, они в некотором запредельно-бесконечном процессе умертвили все деревья Суслина и показали таким образом, что суслинская линия не вырастет из множества.

На множестве вещественных чисел, как известно, можно ввести стандартную топологию. В ближайших нескольких абзацах мы будем работать с ней. Известно, что R является пространством сепарабельным (содержит счётное плотное подмножество, а именно рациональные числа) и полным (всякая последовательность Коши имеет предел). Подмножество M множества R называется открытым, если из того, что точка x является элементом M, следует, что имеются такие числа a и b, что a<x<b и интервал (a;b) есть часть M. Множество называется замкнутым, если его дополнение открыто. Объединение любого семейства открытых множеств открыто, пересечение конечного семейства открытых множеств открыто, всё R и пустое множество открыты. Пересечение любого семейства замкнутых множеств замкнуто, объединение конечного семейства замкнутых множеств замкнуто, всё R и пустое множество замкнуты. Открытое множество, элементом которого является точка x, называется окрестностью точки x.

Если M - какое-то множество, то точка m из M называется изолированной, если найдётся хотя бы одна окрестность U точки m такая, что пересечение U и M равно {m}. Множество называется совершенным, если оно не имеет изолированных точек. Можно доказать, что совершенное подмножество R имеет мощность континуума. Верна теорема Кантора-Бендиксона (1883 год): каждая несчётная замкнутая часть R есть объединение совершенной части и какой-то не более чем счётной части.

Замыканием множества M называется пересечение всех замкнутых множеств, содержащих M. Внутренностью множества M называется объединение всех открытых подмножеств M. Множество M называется нигде не плотным, если внутренность его замыкания есть пустое множество. Множество называется множеством первой категории Бэра, если оно является объединением счётного числа нигде не плотных множеств. Множества второй категории Бэра - множества, не являющиеся множествами первой категории. Множество R является множеством второй категории Бэра. Более того, верна теорема Бэра (1899): пересечение счётной последовательности плотных частей R является плотной частью R.

Пусть S - множество. Алгеброй подмножеств S мы будем называть такое семейство частей S, что S является элементом семейства, объединение и пересечение любых двух элементов семейства является элементом семейства, дополнение любого элемента семейства до S также является элементом семейства. Алгебра подмножеств называется сигма-алгеброй, если и объединение, и пересечение счётной последовательности её элементов снова её элемент. Не любая алгебра является сигма-алгеброй. Пересечение любого семейства алгебр является алгеброй; сигма-алгебр является сигма-алгеброй. Булеан S является алгеброй. Для любого семейства X подмножеств S существует наименьшая по включению алгебра, являющаяся надмножеством X; это пересечение всех алгебр, частью которых является x. Аналогично для сигма-алгебр. наименьшая сигма-алгебра на R, содержащая все открытые подмножества R, называется борелевской сигма-алгеброй. Её элементы называются борелевскими множествами. Борелевская алгебра содержит не только все открытые множества, но и все замкнутые множества, а также некоторые множества, не являющиеся ни открытыми, ни замкнутыми. Пересечения счётных семейств открытых множеств называются G-дельта множествами, объединения счётных семейств замкнутых множеств называются F-сигма множествами.

На множестве вещественных чисел задана дефолтная мера: мера Лебега. Измеримые по Лебегу множества образуют сигма-алгебру; каждый интервал измерим по Лебегу. Следовательно, борелевская сигма-алгебра является частью этой алгебры, и потому каждое борелевское множество измеримо по Лебегу.

Рассмотрим теперь множество всех счётных последовательностей натуральных чисел. Это множество можно сделать топологическим пространством, рассмотрев для этого множество всех конечных последовательностей натуральных чисел Seq. Каждой конечной последовательности натуральных чисел s сопоставим множество O(s) всех тех бесконечных последовательностей, начало которых совпадает с s. Если теперь взять множество всевозможных O(s) в качестве базы топологии, то и получим топологическое пространство. Оно называется пространством Бэра (Берівський простір). Пространство Бэра метризуемо; более того, оно будет сепарабельным и полным. Каждая последовательность натуральных чисел может быть рассмотрена как непрерывная дробь; непрерывные дроби задают иррациональные числа. Следовательно, пространство Бэра - это топологическое пространство иррациональных чисел. Часть T множества Seq называется деревом, если сужение каждого элемента T является элементом T. Для каждого дерева T мы можем рассмотреть множество [T] бесконечных путей вдоль T: таких счётных последовательностей f, что для каждого натурального числа n сужение f на n будет элементом T. Множества [T] замкнуты в пространстве Бэра. Обратно, если какое-то множество F замкнуто в пространстве Бэра, то множество всех конечных сужений элементов из F будет деревом, обозначим его TF, и притом [TF] будет равно F. Непустое дерево называется совершенным, если для каждого его элемента t существуют два элемента s1 и s2 дерева такие, что t является сужением и первого и второго, но ни s1 не является частью s2, ни s2 не является частью s1. Замкнутое множество F пространства Бэра является совершенным тогда и только тогда, когда дерево TF является совершенным. На пространстве Бэра можно ввести меру Лебега.

Польское пространство - это топологическое пространство, которое гомеоморфно сепарабельному отделимому метрическому пространству. Стандартная топология на R, пространство Бэра, интервал [0;1] в индуцированной с R топологии, а также канторово множество, гильбертов кирпич и многие другие пространства являются польскими. Можно доказать, что каждое польское пространство является непрерывным образом пространства Бэра.

Теперь вернёмся к общим теоретико-множественным вопросам. Классическая теория множеств приобрела свой окончательный облик в основном под влиянием фон Неймана. Фон Нейман предложил аксиому фундирования, согласно которой в каждом классе, упорядоченном с помощью ∈, есть наименьший элемент.

Одна из его ключевых идей - это кумулятивная иерархия множеств, или, как теперь говорят, иерархия фон Неймана. По трансфинитной рекурсии определим V0 как пустое множество, V(a+1) как булеан Va, если a предельный, положим Va равным объединению Vb для всех b<a. Va называется верум-a. Мы определили верумы так, что у нас, между всем прочим, имеется верум-омега, соответствующий первому бесконечному ординалу. Он является объединением всех верумов с конечными индексами. Каждый верум - транзитивное множество. Каждый предыдущий верум - часть последующего. Каждый ординал a есть подмножество верум-a. Объединение всех верумов обозначается как V. V не является множеством. В аксиоматике ZFC класс V равен классу всех множеств.

Количество элементов в верумах растёт очень быстро. Уже в пятом веруме содержится 65536 элементов, а в шестом веруме элементов будет 2^65536. В верум-омега содержится счётное количество элементов, а в омега плюс первом веруме элементов будет континуум.

Один из главных инструментов фон Неймана для работы с верумами - это "принцип коллекции". Звучит он так. Если нам дано "индексированное семейство классов", совокупностью индексов которого является множество, то существует множество, содержащее хотя бы один элемент из каждого класса.

Другим ключевым инструментом является ∈-индукция и ∈-рекурсия.
Пусть T - транзитивный класс, F - свойство. Предположим, что F(0) истинно. Предположим, что если x∈T и если F(z) истинно для каждого z∈x, то F(x) истинно.
Тогда для каждого x из T истинно F(x).
Доказательство элементарно. Рассмотрим класс всех тех x из T, для которых F(x) ложно. Если он непуст, то в нём есть ∈-наименьший элемент x. Применим одно из предположений.

Аналогично определяется ∈-рекурсия. Рассмотрим транзитивный класс, зададим на нём функцию, которая по последовательности предыдущих элементов порождает следующий элемент. Тогда определена последовательность элементов класса.

Аксиомы фон Неймана, Бернайса и Гёделя таковы.
A1. Аксиома экстенсиональности.
A2. Каждое множество - класс.
A3. Только множества могут быть элементами.
A4. Для любых двух множеств есть неупорядоченная пара.

B. Для каждого одноместного предиката существует равнообъёмный ему класс.

C1. Существует индуктивное множество.
C2. Каждое семейство множеств имеет объединение.
C3. Каждое множество имеет булеан.
C4. Аксиома замены.

D. Аксиома регулярности.
E. Аксиома выбора. Существует функция F такая, что F(x) является элементом x для каждого непустого множества x.

Пожалуй, теперь можно перейти к чуть более современным вещам.

В современной математике очень часто используются определения с помощью ультрафильтров и теоретико-множественных идеалов. Например, одним из самых фундаментальных обобщений предельного перехода является предел вдоль фильтра.

Фильтры и идеалы определеляются так. Пусть S - непустое множество.

Фильтр F на множестве S - это такая совокупность подмножеств S, что:
1. S - элемент F. Пустое множество - не элемент F.
2. Пересечение двух элементов F - элемент F.
3. Надмножество элемента F - элемент F.

Идеал I на множестве S - это такая совокупность подмножеств S, что:
1. Пустое множество - элемент I. S - не элемент I.
2. Объединение двух элементов I - элемент I.
3. Подмножество элемента I - элемент I.

Нетрудно заметить, что фильтр и идеал - двойственные друг другу конструкции. Множество дополнений элементов фильтра образует идеал. Множество дополнений элементов идеала образует фильтр. Они называются дуальными.

Тривиальный фильтр на S - это множество {S}.
Пусть X - часть S. Множество всех надмножеств X называется главным фильтром на S, порождённым X.
Пусть S - бесконечное множество, пусть I - множество всех его конечных подмножеств. Оно будет идеалом. Дуальный ему фильтр называется фильтром Фреше.

Семейство множеств обладает свойством конечных пересечений, если каждое его конечное подсемейство имеет непустое пересечение. Каждый фильтр обладает этим свойством.

Простые свойства фильтров таковы.
1. Пересечение непустого семейства фильтров на S - фильтр.
2. Объединение цепи по включению фильтров (каждый последующий элемент - надмножество предыдущего) - фильтр.
3. Если семейство частей S обладает свойством конечных пересечений, то оно является подмножеством хотя бы одного какого-то фильтра.

Фильтр на S называется ультрафильтром, если для каждой части X множества S элементом этого фильтра является либо X, либо дополнение X.
Идеал на S называется простым, если дуальный ему фильтр - ультрафильтр.
Фильтр называется максимальным, если он не является собственным подмножеством никакого другого фильтра. Фильтр является максимальным тогда и только тогда, когда он является ультрафильтром.

Теорема Тарского (1930). Каждый фильтр содержится в некотором ультрафильтре.

На множестве мощности a существует ровно 2^(2^a) ультрафильтров,

Рассмотрим теперь ультрафильтры на ω; они часто используются в теоретико-множественной топологии.
Пусть D - неглавный ультрафильтр на ω. Он называется слабо селективным (weakly selective, синоним p-point), если для каждого разбиения ω на счётное количество кусочков, не являющихся элементами D, в D существует элемент, пересечение которого с каждым из кусочков конечно. Существование слабо селективных ультрафильтров следует из континуум-гипотезы (Уолтер Рудин, тот самый, 1956 год). Несуществование слабо селективных ультрафильтров совместно с ZFC.

Пусть D - неглавный ультрафильтр на ω. Он называется ультрафильтром Рамсея, если его пересечение с каждым из кусочков состоит ровно из одного элемента. Ультрафильтр Рамсея является слабо селективным, понятно. Из континуум-гипотезы следует существование ультрафильтра Рамсея.

Фильтр называется сигма-полным, если пересечение счётного семейства элементов фильтра является элементом фильтра. Идеал называется сигма-полным, если объединение счётного семейства элементов идеала является элементом идеала. На счётном множестве каждый сигма-полный фильтр - главный. Вопрос, когда на множестве существует неглавный сигма-полный ультрафильтр, ведёт вглубь теории множеств. Если такие фильтры есть, то есть и большие кардиналы.

Пусть a - кардинал. Фильтр называется a-полным, если пересечение семейства мощности a элементов фильтра является элементом фильтра. Идеал называется a-полным, если объединение семейства мощности a элементов идеала является элементом идеала.

В логике фильтры и идеалы используются применительно, главным образом, к булевым алгебрам. Дело в том, что каждому языку первого порядка можно сопоставить булеву алгебру; это так называемая алгебра Линденбаума. С помощью фильтров и идеалов можно доказать, что каждый идеал булевой алгебры содержится в простом идеале. Кроме того, каждая булева алгебра изоморфна некоторой алгебре множеств. Примерно так же, как полнота фильтров, определяется полнота булевых алгебр. Доказывается, что каждую алгебру можно вложить в полную алгебру - в её пополнение. Кроме того, для алгебр развивается небольшая теория насыщеннности. Пусть a - кардинал; алгебра называется a-насыщенной, если эту алгебру нельзя разбить на множество кусочков мощности a. Насыщение алгебры - это наименьший из кардиналов, для которых алгебра является насыщенной. Насыщенность бесконечной полной алгебры - это регулярный несчётный кардинал. Кроме того, с помощью фильтров для алгебр можно ввести операции a-дистрибутивности, где a - кардинал.

Регулярные несчётные кардиналы можно изучать с помощью теории замкнутых неограниченных множеств.

Пусть X - множество ординалов, пусть a - предельный ординал. a - предельная точка X, если супремум пересечения X и a равен a.
Пусть a - регулярный несчётный кардинал. Его подмножество называется замкнутым неограниченным, если оно неограничено и содержит все свои предельные точки кроме a. Подмножество a называется стационарным, если его пересечение с каждым замкнутым неограниченным подмножеством непусто. Пересечение двух замкнутых неограниченных множеств само является замкнутым неограниченным. Следовательно, замкнутые неограниченные множества обладают свойством конечных пересечений и потому мы можем говорить о некотором фильтре; он называется замкнутым неограниченным фильтром. Замкнутый неограниченный фильтр на a является a-полным.

Пожалуй, главный результат о стационарных множествах - это лемма, которую доказал профессор Фодор в 1956 году.
Теорема Фодора. Для каждой убывающей функции на стационарном множестве S в кардинале a, значениями которой являются кардиналы, существует стационарное подмножество S, на котором функция постоянна и равна некоторому кардиналу, меньшему a.

Из этой теоремы можно вывести, что для каждого стационарного множества S, элементами которого являются регулярные несчётные кардиналы, стационарным множеством будет любая его часть, состоящая из тех элементов, пересечение которых с S не является стационарным множеством. А отсюда уже следует теорема Соловэя. Каждое стационарное подмножество регулярного несчётного кардинала a есть объединение дизъюнктного семейства мощности a стационарных подмножеств.

В качестве дополнительного приложения можно определить особую разновидность больших кардиналов, кардиналы Mahlo. Пусть a - недостижимый кардинал. Множество всех кардиналов, меньших a, является замкнутным неограниченным подмножеством a, как и множество их предельных точек - множество всех предельных кардиналов. Если a - наименьший недостижимый кардинал, то каждый сильный предельный кардинал, меньший a, - сингулярный. Поэтому множество всех сингулярных сильных предельных кардиналов, меньших a, замкнутое неограниченное. Если a - n-ый недостижимый, то множество всех меньших его регулярных кардиналов нестационарное. Сильно (слабо) недостижимый кардинал называется сильным (слабым) кардиналом Mahlo, если множество всех регулярных кардиналов, меньших него, является стационарным.

Кроме того, с помощью ультрафильтров можно доказать любопытный факт о гипотезе сингулярных кардиналов.
Теорема (Сильвер). Если гипотеза сингулярных кардиналов верна для всех кардиналов кофинальности омега, то она верна для всех сингулярных кардиналов.

Стационарные множества можно организовать в иерархию Mahlo, или иерархию стационарных множеств. Иерархию Mahlo ввёл в начале XX века, собственно, Paul Mahlo с помощью Mahlo operation.

Запишу пример интересного неотделимого пространства, чтобы не забыть. Рассмотрим множество целых чисел Z. Возьмём его разбиение на классы вычетов по модулю, ну например, 5, то есть всего будет пять классов:
[0]={... , 0, 5, 10, 15, ... },
[1]={... , 1, 6, 11, 16, ... },
[2]={... , 2, 7, 12, 17, ... },
[3]={... , 3, 8, 13, 18, ... },
[4]={... , 4, 9, 14, 19, ... }.

Введём топологию на Z, взяв эти множества в качестве базы топологии. То есть подмножество Z является открытым тогда и только тогда, когда оно является объединением какого-то семейства множеств из базы. Это действительно топология. Пустое множество открыто, так как является объединением пустого семейства элементов базы. Всё Z открыто, так как Z = [0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]. Объединение любого семейства открытых множеств открыто по определению. Наконец, пересечение конечного семейства открытых множеств открыто: в самом деле, базу можно считать индексированной, и всякому открытому множеству можно сопоставить множество индексов тех элементов базы, объединением которых оно является. Возьмём пересечение этих множеств индексов, получим новое множество индексов. Объединив элементы базы с этими индексами, получим открытое множество, которое в точности является пересечением семейства.

Таким образом, открытыми множествами будут всевозможные объединения множеств [0]...[4]. Таких объединений 2^5 = 32 штуки, то есть в Z открыто 32 множества. Пространство Z с такой топологией демонстрирует занятные свойства, например, оно не является хаусдорфовым. Вот скажем точки 0 и 5 не имеют непересекающихся окрестностей. Вообще, оно даже не удовлетворяет аксиоме T0. По смыслу, открытые множества в этой топологии - множества чисел, которые при делении на 5 дают один из интересующих нас остатков. Например, [1]∪[3] - множество тех целых чисел, которые при делении на 5 дают в остатке либо 1, либо 3.

Топологическое пространство.
Пусть M - множество. Пусть T - некоторое множество подмножеств M. Если:
1. Пустое множество есть элемент T, M есть элемент T
2. Объединение любого семейства элементов T есть элемент T
3. Пересечение любого конечного семейства элементов T есть элемент T
то T называется топологией на M. Элементы T называются открытыми множествами.
Обычно рассматриваются только такие топологии, которые обладают свойством Хаусдорфа:
4. Если x и y - две разные точки T, то существуют два непересекающихся открытых множества U и V такие, что x элемент U, y элемент V.
Открытые множества, содержащие точку x, называются окрестностями точки x. Свойство Хаусдорфа можно переформулировать:
4. Две разные точки имеют непересекающиеся окрестности.
Окрестности x, из которых выброшена сама точка x, называются проколотыми.

На одном и том же множестве может быть много топологий. Множество с указанной топологией называется топологическим пространством. Топологическое пространство, обладающее свойством 4, называется хаусдорфовым.

Ясно, что для того, чтобы пересечение любого конечного семейства элементов T было элементом T, необходимо и достаточно, чтобы пересечение двух элементов T было элементом T. Необходимость очевидна. Достаточность можно доказать по индукции.

Фильтр.
Пусть M - множество. Пусть F - некоторое множество подмножеств M. Если:
1. Пустое множество не есть элемент F
2. F не пусто
3. Пересечение любого конечного семейства элементов F есть элемент F
4. Надмножество элемента F есть элемент F
то F называется фильтром на M.

База топологии.
Пусть T - топология на M. Пусть B - некоторое множество открытых множеств.
Если множество T равно множеству объединений всевозможных семейств элементов B,
то B называется базой топологии T. Элементы B называются окончаниями базы, или, синоним, базовыми элементами.

Это означает, что любое открытое множество является объединением некоторого, возможно бесконечного, семейства элементов базы. Поэтому когда в пространстве выбрана база, мы можем утверждать, что если x - точка открытого множества U, то существует окончание b этой базы такое, что x∈b⊂U.
База задаёт топологию однозначно. Но у одной и той же топологии может быть много разных баз. Ясно, что сама топология T является своей базой. Таким образом, хотя бы одна база существует всегда. У баз пространства могут быть разные мощности. Наименьшая из мощностей баз называется весом топологического пространства.

Две базы называются эквивалентными, если в любое окончание одной базы каждая точка входит вместе с содержащим её некоторым окончанием другой базы. Эквивалентные базы задают одну и ту же топологию.

У базы топологии есть очень полезный критерий.
Пусть B - множество подмножеств M. Оно является базой некоторой топологии на M тогда и только тогда, когда:
1. Объединение B равно M
2. Для любых U,V из B для любой точки x из U⋂V существует такое W из B, что x∈W ⊂ U⋂V.
Условие 2 означает, что любая точка пересечения двух окончаний базы входит в него вместе с некоторым содержащим её окончанием.
В частности, условие 2 выполняется, если пересечение конечного семейства элементов базы снова элемент базы - в качестве W можно взять тогда само U⋂V.

Этот критерий позволяет легко и изящно задавать топологии, указав в качестве базы множество, обладающее свойствами 1 и 2 - это задание корректно, поскольку база определяет топологию однозначно. Например, ясно, что, хотя непустое пересечение двух шаров в R^n не является шаром, оно содержит как подмножество хотя бы один шар. Таким образом, взяв в качестве базы всевозможные n-мерные шары, мы однозначно зададим топологию в R^n (она называется стандартной). Напомню, что в R^1 шаром является интервал, в R^2 шаром является круг.

Вообще, в качестве базы можно взять любое множество стандартных геометрических тел, если пересечение двух из них вместе с каждой точкой содержит объёмлющее её тело того же типа (речь об открытых телах, граница не включается). Например, в пересечении двух треугольников на плоскости каждая точка содержится вместе с маленьким треугольничком, поэтому топологию плоскости можно задавать с помощью треугольников. Так как в каждый треугольник точка входит вместе с некоторым кругом, а в каждый круг - с треугольником, база на треугольниках будет эквивалентна базе на кругах и задаст ту же топологию. Вместо треугольников можно взять квадраты, ромбы или, например, снежинки с хитрыми дырками - все они будут задавать одну и ту же топологию. В R^3 в качестве базы можно взять параллелепипеды или даже произвольную аниме-фигурку (сплошную, пустотелые не годятся). Таким образом, любое открытое в R^3 множество можно представлять себе как объединение некоторого семейства фигурок Хоро.

Предбаза топологии.
Пусть T - топология на M. Пусть B - база топологии T. Пусть P - некоторое множество открытых множеств.
Если множество B равно множеству пересечений всевозможных конечных семейств элементов P,
то P называется предбазой топологии T, порождающей базу B.

То есть множество всех конечных пересечений элементов предбазы образует некоторую базу.

Пусть M - какое-то множество. Пусть P - произвольное семейство подмножеств M. Пусть B - семейство подмножеств M, элементами которого являются пустое множество, всё множество M, все элементы P и всевозможные пересечения конечных семейств элементов P. Пусть T - всевозможные объединения всяческих, конечных и бесконечных, подсемейств B. Тогда T есть топология на M, B есть база этой топологии, P есть предбаза этой базы. Таким образом, чтобы ввести топологию на произвольном множестве, достаточно взять произвольное семейство его подмножеств и рассмотреть в качестве предбазы.

Предбазы топологий ценны, например, теоремой Александера о предбазе. Она позволяет упрощать проверку компактности пространства.

База фильтра.
Пусть F - фильтр на M. Пусть B - некоторое множество элементов этого фильтра.
Если любой элемент фильтра является надмножеством хотя бы одного элемента из B,
то B называется базой фильтра F. Элементы B называются окончаниями базы, или, синоним, базовыми элементами.

У базы фильтра есть аналогичный базе топологии критерий.
Пусть B - множество подмножеств M. Оно является базой некоторого фильтра на M тогда и только тогда, когда:
1. B не пусто
2. Пустое множество не есть элемент B
3. Для любых двух элементов из B существует элемент из B, являющийся подмножеством их пересечения.

Всякая база является базой только одного фильтра. Поэтому если мы укажем для произвольного множества M семейство частей, обладающее свойствами 1-3, то мы укажем один конкретный фильтр на этом множестве. У одного фильтра может быть много разных баз.

Две базы фильтра называются эквивалентными, если каждое окончание одной базы содержит как подмножество некоторое окончание другой базы. То есть базы B1 и B2 эквивалентны, если для каждого элемента из B1 существует являющийся его частью элемент из B2, и для каждого элемента из B2 существует являющийся его частью элемент из B1. Эквивалентные базы задают один и тот же фильтр.

Для базы фильтра, как и для базы множеств, можно ввести понятие предбазы. Предбазой фильтра в M называется семейство попарно пересекающихся подмножеств M. Если добавить к предбазе всевозможные конечные пересечения её элементов, то получится база фильтра.

Фильтры придумал Анри Картан в тридцатых годах, они были нужны ему для топологических исследований, которыми он занимался на своём семинаре. Фильтр задумывался как локальная конструкция - то есть в топологическом пространстве выделялась точка и рассматривался фильтр как бы в этой точке. Фильтр должен был быть множеством всех окрестностей точки, но возникла проблема: произвольное надмножество открытого множества не является, вообще говоря, открытым множеством. Поэтому Картан пошёл на усложнение понятия окрестности. То, что выше названо окрестностью (открытое множество, содержащее точку), Картан переименовал в открытую окрестность. Окрестностью точки x он стал называть любое множество M, которое содержит открытое подмножество U такое, что x - элемент U. То есть окрестностями точки стали не всевозможные открытые множества, содержащие эту точку, но всевозможные надмножества открытых множеств, содержащих эту точку. В таком, расширенном, смысле множество всех окрестностей точки действительно является фильтром. Однако если локально рассматривать не фильтр, а базу, то этой проблемы не возникнет. Семейство всех окрестностей (окрестностей в обычном смысле, то есть открытых окрестностей) точки x является базой. Оказывается, что рассмотрения только баз, без упоминания фильтров, достаточно, чтобы развить довольно богатый анализ. Поэтому обычно окрестности понимают в узком смысле, а не в смысле Картана. Терминология Картана, однако, весьма популярна.

Пусть дано топологическое пространство, A и B - два его непустых подмножества. A отделимо от B, если существует открытое множество, содержащее A, но не содержащее B. A и B отделимы, если есть два непересекающихся открытых множества, содержащие соответственно A и B. Может быть так, что A отделимо от B и B отделимо от A, но A и B не отделимы. A и B функционально отделимы, если есть непрерывная функция из пространства в отрезок [0;1], равная 0 на A и 1 на B.

Слово "точка" часто обозначает одноэлементное множество, содержащее эту точку. В определениях ниже точки считаются неравными, а замкнутые множества не содержат точку и не пересекаются. T0 - аксиома Колмогорова, T1 - Фреше, T2 - Хаусдорфа, T3 1/2 - Тихонова.

Топологическое пространство называется:
T0, если для любых двух точек верно, что хотя бы одна из них отделима от другой;
T1, если -//- что любая из них отделима от другой;
T2, если любые две точки отделимы;
T3, если точка и замкнутое множество отделимы;
регулярным, если оно T3 и T1;
T3 1/2, если точка и замкнутое множество функционально отделимы;
T4, если любые два замкнутых множества отделимы;
нормальным, если оно T4 и T1;
T5, если любое его подмножество нормально;
T6, если оно T1 и любые два замкнутых множества функционально отделимы.

Очевидно, что в T1-пространствах точки замкнуты.
T2 влечёт T1, T1 влечёт T0.
Регулярность влечёт T2.
Нормальность влечёт регулярность.
T5 влечёт нормальность.
T6 влечёт T5.

Пространство является T6 титтк оно нормально и любое его замкнутое подмножество типа G-дельта. Все метрические пространства - T6. Все T2-компакты нормальны.

---

Пусть T - топологическое пространство, A и B - два его замкнутых подмножества.
Пусть f - непрерывная функция из T в [0;1].
Пусть f(A) = 0, f(B) = 1.

Функция непрерывна тогда и только тогда, когда прообраз открытого множества открыт.
Возьмём вот такие открытые в отрезке множества: [0;0.5) и (0.5;1].
Их f-прообразы не пересекаются.
Вдобавок, эти прообразы как подмножества T открыты, ибо f непрерывна.
Первый из них содержит A.
Второй из них содержит B.
Таким образом, у A и B есть непересекающиеся окрестности.

То есть функциональная отделимость замкнутых множеств влечёт обычную.
То есть T6 влечёт по меньшей мере нормальность.

На правах хобби и научпопа.

Онтология

В классической математике (до 1960x) все рассматриваемые объекты - это множества. Числа - это множества, функции - это множества, всевозможные пространства - тоже множества. Идейно, множества - это совокупности вещей. Вещь может входить в совокупность, а может не входить. Если вещь m входит в совокупность M, то это записывается как m∈M и читается "m есть элемент M". Значок ∈ - это стилизованная первая буква греческого слова εστι, значащего "есть", "являться". Считается, что этот значок изобрёл Джузеппе Пеано.

Первокурсников часто учат, что множество - неопределяемое понятие. Это, конечно, неправильно. Любое понятие полностью определяется перечислением его свойств. Множество - не исключение. Множество определяется описанием действий, которые со множествами можно совершать. Как в объектно-ориентированном программировании: определение класса есть описание его методов и полей.

Теория множеств - некий конкретный вариант выбора свойств, приписываемых множествам. В разных теориях множеств - разные свойства. Например, в одних теориях множествам запрещено иметь себя в качестве элемента, в других теориях такое позволено.

Теории множеств пишутся на логическом языке. Это довольно технический язык, напоминающий языки программирования. Человеку его читать не очень удобно. Поэтому текст на искусственном языке логики почти всегда сопровождают комментарием на понятном, человеческом языке (как говорят, на "естественном языке"). В таком комментарии часто встречается оборот "интуитивно говоря". "Интуитивно" - значит, не техническим языком, а неточным человеческим языком.

Общеупотребимая теория множеств называется ZFC (теория Цермело-Френкеля, дополненная аксиомой выбора). О множествах этой теории можно думать как о коробках. В коробке может быть пусто. А ещё в коробке могут лежать другие коробки. Никаких иных вещей нет: коробка, в которой лежат какие-нибудь яблоки, из рассмотрения исключается. Как и сами яблоки.

Вообще-то бывают теории множеств, в которых помимо множеств рассматриваются и вещи, множествами не являющиеся. Вещи, которые не являются множествами, но могут быть элементами множеств, называются урэлементы (или примордиальные элементы, или индивиды, или атомы). Если множества подобны коробкам, то урэлементы подобны яблокам. Яблоки могут лежать в коробках, но коробка не может лежать в яблоке. Теории множеств с урэлементами обычно не применяются за пределами логики, они используются для её внутренних нужд. Например, как модели для языков, в которых допускаются слова из бесконечного количества букв и выводы из бесконечного количества формул. В ранние варианты теории Цермело входили урэлементы, но потом оказалось, что за пределами логики они ни для чего не нужны. В ZFC урэлементов нет. Только коробки.

Впрочем, образ коробки не полностью передаёт суть того, чем являются множества. Так, обычная материальная коробка, сделанная из картона, не может непосредственно лежать одновременно в двух разных коробках, самое большее в одной; и нелепо говорить, что всякая коробка обязательно лежит в какой-нибудь другой коробке. Для множеств это не так. Всякое множество обязательно является элементом сразу многих разных множеств. Далее, если первую коробку мы положим во вторую коробку, а затем эту вторую положим в третью, то интуиция скажет нам, что первая коробка лежит в третьей коробке. Для множеств это неверно - элементами множества является только то, что лежит в нём непосредственно. В описанной ситуации у нас нет права говорить, что первая коробка является элементом третьей коробки; в третьей коробке лежит лишь вторая коробка, но не первая (про третью коробку мы говорим, что она наследственно лежит в первой). Наконец, материальную коробку можно сделать, а можно разрушить. Множества же мыслятся несотворимыми, неуничтожимыми и неподвижными, и причем раз навсегда определено, какое множество в каких множествах лежит. Эта застывшая в безвременьи совокупность называется "универсум", или "вселенная множеств". У разных теорий множеств разные универсумы.

Но всё-таки представление о множествах как о коробках, которыми можно манипулировать, достаточно корректно, чтобы им было удобно пользоваться. Это отражает нотация фигурных скобок: если a, b, c, ... , d коробки, то их можно положить в новую коробку M = {a, b, c, ... , d}. Пустое множество, - коробка, в которой ничего не лежит, - обозначается {} или ∅.

Аксиомы ZFC

ZFC имеет около десятка аксиом (около - потому что в разных документах предлагаются разные формулировки). Окончательно канон этой теории сформировался в 1925 году.

1. Два множества равны тогда и только тогда, когда состоят из одних и тех же элементов.

Эта аксиома - самая древняя, она восходит ещё к Лейбницу (identitas indiscernibilium) и даже к Аристотелю. Она называется аксиомой объёмности, или аксиомой экстенсиональности. В том или ином виде она встречается во всех теориях множеств. Идея в том, что задать множество - это то же самое, что полностью перечислить те элементы, из которых это множество состоит. Никакой другой онтологической информации о множестве не может быть. Невозможна ситуация, когда два множества равнообъемны (состоят из одних и тех же элементов), но всё-таки чем-то различаются - скажем, одно выкрашено в синий цвет, а другое в красный. У множеств с одинаковыми элементами не может быть никаких свойств, которые позволили бы отличить одно от другого. Равнообъёмные множества обязательно равны. Или, точнее, равнообъёмные множества - это одно и то же множество.

Для коробок аксиома объёмности означает, что коробка полностью определяется тем, что в ней лежит. Если в первой коробке лежат те же коробки, что лежат во второй, - первая и вторая коробка суть одна и та же коробка. Для нотации фигурных скобок отсюда следует, что порядок элементов внутри фигурных скобок неважен: {a,b,c} = {c,b,a} = {b,a,c}. И ещё это утверждение означает, что дубликаты смысла не имеют: {a,b,c, a} = {a,b,c} и {p,p,p,p} = {p}.

Ещё это означает, что нет двух разных пустых коробок. Есть только одна пустая коробка. Именно это оправдывает употребление значка ∅. Если бы пустых коробок было несколько, то было бы непонятно, какую из них обозначает имя ∅.

У этой аксиомы есть и другая формулировка: два множества равны тогда и только тогда, когда входят в одни и те же множества. x=y ⇔ ∀M(x∈M↔y∈M). Эта формулировка несколько ближе к оригинальным идеям Лейбница.

2. Для любых двух множеств существует множество, имеющие в качестве элементов их и только их.

На языке коробок - любые две коробки лежат в некой третьей коробке. И кроме этих двух коробок в ней ничего больше не лежит. С помощью фигурных скобок - для любых a и b существует множество {a, b}. Множества a и b не обязаны быть неравными, они могут быть равны, a=b. Тогда аксиома превратится в утверждение, что для любого множества a есть множество {a}. Иными словами, любую коробку можно положить в новую коробку. Здесь важно отметить, что a и {a} - разные множества, они не равны. В a могут лежать тысячи элементов, тогда как в {a} лежит один-единственный элемент.

3. Для любого набора множеств существует множество, состоящее в точности из элементов этих множеств.

Множество, о существовании которого говорит эта аксиома, называется объединением. Объединение M обозначается значком ∪M.

Для коробок это значит, что операция объединения берет коробку, вынимает из неё все коробки, распаковывает их и складывает их содержимое в новую коробку. Если M = { {a,b,c}, {d,e,f}, {g,h}, {p,q,r,s} }, то ∪M = {a,b,c,d,e,f,g,h,p,q,r,s}. Если исходная коробка была пуста, то и её объединение будет пустым: ∪∅ = ∅. Значок объединения ∪ часто используется не в префиксной, а в интерфиксной записи: если A = {p,q,r}, B = {s,t}, C = {u,v,w}, M = {A, B, C}, то вместо ∪M часто пишут A∪B∪C = {p,q,r,s,t,u,v,w}. Вместо ∪{A,B} пишут A∪B. Интерфиксная запись не применяется, когда в объединяемом множестве очень много элементов - больше трёх.

Слова "набор множеств" здесь обозначают "множество множеств", набор - синоним для множества. А так как в ZFC нет ничего кроме множеств - любое множество является множеством множеств. Поэтому вместо "набор множеств" следовало бы написать попросту "множество" и сформулировать аксиому словами "для любого множества существует его объединение". Но это как-то некрасиво звучит.

4. Для любого множества совокупность всех его подмножеств - множество.

Пусть N и M - два множества. N называется подмножеством M, или частью M, если каждый элемент множества N является также элементом множества M. Это записывается как N⊂M. Например, {a,b,c} - подмножество {a,b,c,d}; {p,q} - часть {p,q,r,s}.

Значки ⊂ и ∈ не следует путать. Верно, что {p,q} ⊂ {p,q,r,s}, но, вообще говоря, неверно, что {p,q} ∈ {p,q,r,s}. Впрочем, если r = {p,q}, то утверждение {p,q} ∈ {p,q,r,s} окажется всё-таки верным.

Верно, что a∈{a,b,c}, и верно, что {a}⊂{a,b,c}. Но в общем случае неверно, что a⊂{a,b,c}. Впрочем, если a={b,c}, то не будет ошибкой сказать, что a⊂{a,b,c} - множество a будет являться в таком случае и элементом, и подмножеством {a,b,c} = {{b,c},b,c}. Но обычно элементы множества всё-таки не являются его подмножествами.

Так сформулированное определение подмножества означает, что множество N не является подмножеством M только в том случае, когда в N имеется элемент, не являющийся элементом M. А отсюда вытекает, что пустое множество является подмножеством любого множества: ∅⊂M. Ведь в пустом множестве вовсе не имеется элементов.

В русском языке слово "часть" противопоставляется слову "целое", и всегда имеется в виду, что часть не есть целое. Однако слово "часть", которое использовано выше, имеет не совсем такой смысл, как в русском. Оказывается, что всякое множество является своей частью: M⊂M. Ибо все элементы множества M являются элементами множества M, тавтологически. Чтобы всё-таки сохранить противопоставление части и целого, которое есть в естественном языке, пустое множество и само M называются несобственными подмножествами M. Все остальные подмножества M называются собственными подмножествами. Таким образом оказывается, что M является своей частью, но не является своей собственной частью. На этом каламбуре основано некоторое количество шуток. Иногда пустое множество всё-таки называют собственным. В этом случае несобственным подмножеством M оказывается только M.

Множество всех подмножеств M обозначают значком 2^M или P(M). Иногда его называют "булеан M" или "множество-степень M". Значок 2^M связан с количеством элементов в булеане: если M есть m-элементное множество, то у него имеется 2^m различных подмножеств (в обычной теории множеств, в необычных иначе). Так, у множества из десяти элементов есть 1024 разных подмножества, из них два - несобственные и 1022 - собственные.

Для логических целей стоит отметить, что аксиома булеана сама по себе не утверждает, что у данного множества есть хотя бы одно подмножество. Она лишь утверждает существование множества, элементами которого являются в точности подмножества данного множества; это множество может быть пустым. Существование подмножеств устанавливается с помощью других аксиом. В ZFC - в основном с помощью аксиомы выделения, сформулированной ниже.

5. Пусть выбрано какое-то свойство p, которым могут обладать множества. И пусть M - какое-нибудь множество. Совокупность всех элементов множества M, обладающих свойством p, также будет являться множеством.

Эта аксиома скромно называется аксиомой выделения подмножеств. Однако она происходит от другой аксиомы, носящей гораздо более громкое имя: axiom of comprehension. Axiom of comprehension утверждала, что каким бы ни было свойство p, совокупность всех вещей, обладающих свойством p, является множеством. То есть, попросту говоря, множества и совокупности вещей эта аксиома объявляла одним и тем же. В самой первой теории множеств, теории множеств Кантора конца XIX века, было всего лишь две аксиомы: аксиома объемности и axiom of comprehension. Axiom of comprehension была чудовищно мощным инструментом. И довольно быстро выяснилось, что её использование приводит к противоречиям. Оказалось, что многие объекты, существование которых постулирует axiom of comprehension, не существуют по чисто логическим причинам. Такие объекты и странные теоремы о них были названы "парадоксами теории множеств", а их исследование - "кризисом оснований математики". Эти названия были неоправданно громкими - большинство математиков тех времен не интересовались теорией множеств. Но всё-таки именно после тех событий возникла идея заменить теорию Кантора теорией с какими-нибудь другими аксиомами.

Аксиома выделения подмножеств иначе называется axiom of restricted comprehension. "Большая" axiom of comprehension пробегает по всему универсуму, отбирает вещи со свойством p и складывает их в одну коробку. Это записывается как {x | p(x)}. В отличие от неё, axiom of restricted comprehension может пробежаться лишь по какому-то одному множеству M, заранее указанному. Это записывается как {x∈M | p(x)}. Аксиома выделения подмножеств порождает новые множества, выбирая элементы из уже имеющегося множества. Выделяет все целые числа из множества вещественных чисел или все пятимерные подпространства какого-нибудь десятимерного векторного пространства. Аксиома выделения подмножеств не позволяет сказать фразу вроде "рассмотрим множество всех вещей со свойством p". Фразы, которые эта аксиома позволяет говорить, имеют вид "выберем из данного множества подмножество всех его элементов со свойством p". Разница существенна.

Axiom of comprehension утверждала, что существуют штуки вроде множества всех множеств. В самом деле, рассмотрим свойство p(x) = "x является множеством". Тогда axiom of comprehension скажет, что совокупность {x | p(x)} существует и является множеством. Однако эта же axiom of comprehension позволяет доказать, что множества всех множеств не существует. Множества всех множеств нет и в ZFC. Вообще, в ZFC далеко не любая совокупность вещей является множеством.

Логический язык, которым записана теория ZFC, не позволяет использовать обороты вроде "для любого свойства p". Поэтому на самом деле аксиома выделения подмножеств - схема аксиом. Это значит, что для любого свойства p формулируется своя собственная аксиома выделения, и всего таких аксиом бесконечно много.

6. Пусть ф - логическая функция от множеств. Тогда образ любого множества - множество.

Эта аксиома называется аксиомой подстановки (аксиомой замены, аксиомой преобразования, аксиомой Френкеля). Она также является не одной-единственной аксиомой, но схемой аксиом: для любой функции ф имеется своя собственная аксиома.

В ZFC разделяются логические функции и функции в теоретико-множественном смысле. Теоретико-множественные функции являются множествами (особого вида), тогда как логические функции - это нечто более хтоническое. Вообразим себе универсум множеств, и вообразим, что из каждого множества выходит стрелка и втыкается в какое-то другое множество (или не в другое, а в это же самое множество, образуя петельку). В такой ситуации мы и будем говорить, что задана логическая функция. Чем именно являются эти выходящие стрелки и в каком именно смысле они "втыкаются" - вопрос уже не к теории множеств, а к нижележащей логике. Запись ф(x,y) означает, что выходящая из множества x стрелка втыкается в y. Аксиома подстановки утверждает, что если мы возьмём множество и каждый его элемент заменим той вещью, в которую втыкается исходящая из этого элемента стрелка, - мы опять получим множество.

Аксиома подстановки - это очень мощная аксиома. Она позволяет доказать некоторые из остальных аксиом ZFC. Так, она позволяет очень легко вывести аксиому выделения подмножеств из существования пустого множества (под спойлером), а из аксиом пустого множества и булеана - аксиому пары.

Пусть p - свойство, M - данное множество. Нужно доказать, что совокупность всех элементов M со свойством p - множество. Поступим следующим образом. Если в M нет ни одного элемента со свойством p, то совокупность всех элементов M со свойством p есть пустое множество, а оно существует. Иначе пусть m - какой-нибудь элемент M со свойством p. Определим логическую функцию ф: если множество x обладает свойством p, то стрелка, выходящая из x, втыкается в x; если же x не обладает свойством p, то пусть стрелка втыкается в m. Применим аксиому подстановки.

7. Существует пустое множество.

Логика, лежая в основе ZFC, автоматически гарантирует существование хотя бы одного множества. Это следует из правил манипулирования кванторами и знаком равенства. Хотя бы одно множество M существует всегда. Если применить к M аксиому выделения подмножеств, выделив множество всех элементов со свойством p(x) = "x ≠ x", то выделенное множество как раз и будет пустым множеством. Таким образом, в присутствии аксиомы выделения существование пустого множества есть несложная теорема. Однако всё-таки удобнее считать пустое множество константой и принимать аксиому о его существовании (подробнее об этом есть, например, у Манина).

8. Существует хотя бы одно индуктивное множество.

В ZFC принято определять натуральные числа следующим образом. 0 определяется как ∅. 1 определяется как {0}. 2 определяется как {0,1}. 3 = {0,1,2}, 4 = {0,1,2,3} и так далее. Если число n уже определено, то n+1 определяется следующим образом: n+1 = n ∪ {n} = {0, 1, 2, ... , n-1} ∪ {n} = {0, 1, 2, 3, ..., n-1, n}. Вообще, для множества m множество m∪{m} называется последователем m и обозначается m'. Нетрудно доказать (на основе аксиом пары и объединения), что последователь есть у каждого множества.

Множество I называется индуктивным, если пустое множество является элементом I и если i∈I влечёт i' ∈I. Всякое индуктивное множество обязательно имеет множество натуральных чисел своим подмножеством, поэтому всякое индуктивное множество бесконечно. Индуктивными такие множества называются потому, что к ним легко и естественно применяется метод математической индукции.

Эта аксиома называется аксиомой бесконечности.

9. Во всяком непустом множестве M есть элемент, не пересекающийся (не имеющий общих элементов) с M.

Эта аксиома называется аксиомой регулярности (аксиомой фундирования, аксиомой фон Неймана). Она нужна для удобства построения теории ординалов и для возможности выстроить весь универсум в кумулятивную иерархию. Её необходимость для остальной математики - под большим вопросом, и её включение в канон сопровождалось недоумением. Впрочем, она действительно удобна. Вывести эту аксиому из остальных аксиом ZFC нельзя, и она им не противоречит.

Эта аксиома запрещает бесконечные цепочки ∈-вложенности. Это значит, что цепочка ...∈d∈c∈b∈a не может быть бесконечной влево. В самом деле, пусть такая цепочка есть. Рассмотрим множество M = {a,b,c,d, ... }. Элемент a пересекается с M, элемент b пересекается с M и т.д. Противоречие.

Иными словами, всякая ∈-цепочка обязательно кончается: имеет вид d∈c∈...∈b∈a, и её нельзя продолжить. Если бы у множества d были элементы, то эту цепочку можно было бы продолжить влево. Следовательно, d - это множество без элементов, то есть пустое множество. Поэтому из аксиомы регулярности следует, что все множества "образованы" из пустого множества.

Ещё эта аксиома запрещает множествам быть своими элементами, как прямо (m∈m), так и наследственно (m∈b∈...∈a∈m). Иначе можно было бы построить бесконечные цепочки ∈-вложенности, соответственно ...∈m∈m∈m∈m∈m и ...∈m∈b∈...∈a∈m∈b∈...∈a∈m.

Есть теории множеств, свободные от аксиомы регулярности. В них множествам разрешается быть своими элементами. Самый популярный вариант такой теории - это теория Петера Аксела, опирающаяся на Aczel's anti-foundation axiom.

>>106319
>>1198340
10. (AC) Декартово произведение семейства непустых множеств не пусто.

Эта аксиома называется аксиомой Цермело.

Пусть i - какое-нибудь множество. Мы говорим, что задано семейство множеств, если с каждым i из I связано одно вполне определённое множество Mi. Множество I называется множеством индексов. Оно может быть как конечным, так и бесконечным. Семейство обозначается как {Mi, i∈I}. Ещё оно может быть обозначено как M1, M2, ... , Mi, ... в случае, когда хочется подчеркнуть его возможную бесконечность.

Например, пусть I = {1, 2, 3, 4}. Тогда в семейство {Mi, i∈I} входят четыре множества: первое, второе, третье и четвертое.

Декартово произведение семейства M1, M2, ... , Mi, .... - это множество всевозможных кортежей вида <m1, m2, ... , mi, ... >, в которых i-я компонента является элементом i-го множества. Оно обозначается символом П{Mi, i∈I}. Если в семействе лишь конечное количество множеств, то его произведение обозначается проще: M1×M2×...×Mn.

Кортеж из двух элементов <p,q> называется упорядоченной парой p и q (в таком порядке). Если p и q различны, то <p,q> не равно <q,p>. Часто используют не угловые скобочки, а круглые: не <p,q>, а (p,q).

Например, декартово произведение двух множеств M1 = {яблоко, груша} и M2 = {огурец, томат, репа} состоит из шести упорядоченных пар:
M1×M2 = {
<яблоко, огурец>,
<яблоко, томат>,
<яблоко, репа>,
<груша, огурец>,
<груша, томат>,
<груша, репа> }.

Произведение трёх множеств M1 = {яблоко, груша}, M2 = {огурец, томат}, M3 = {бегемот, кашалот} состоит из восьми упорядоченных троек:
M1×M2×M3 = {
<яблоко, огурец, бегемот>,
<яблоко, огурец, кашалот>,
<яблоко, томат, бегемот>,
<яблоко, томат, кашалот>,
<груша, огурец, бегемот>,
<груша, огурец, кашалот>,
<груша, томат, бегемот>,
<груша, томат, кашалот>}.

Если перемножаемые множества суть одно и то же множество {0,1}, то декартово произведение n таких множеств является просто-напросто множеством битовых строк длины n. Например, {0,1}×{0,1}×{0,1}×{0,1} = {0000, 0001, 0010, 0011, 0100, 0101, ... }
Здесь упорядоченная четверка <0, 1, 0, 1> для простоты записывается как 0101 и т.п.

В теории ZFC всё является множеством. Каким множеством является кортеж?
Изначально Цермело считал упорядоченные двойки, тройки и т.д. элементарными понятиями и не хотел останавливаться на их определении. В 1921 году Казимир Куратовский предложил определять упорядоченную пару с помощью неупорядоченной: за <a,b> он принял множество {{a}, {a,b}}. Определение пары по Куратовскому оказалось простым и удобным. Пары <a,b> и <p,q> оказались равны тогда и только тогда, когда a=p и b=q, что и требовалось от упорядоченной пары. Тройки, четверки и т.д. определяются с помощью упорядоченных пар.

Иная ситуация с кортежами бесконечной длины. По определению, кортежем для {Mi, i∈I} называется отображение, определённое на множестве I, обладающее следующим качеством: образ элемента i является элементом множества Mi. Такие отображения называются функциями выбора на {Mi, i∈I}. Формально они принимают значения во множестве ∪Mi.

Например, пусть у нас есть бесконечное множество цветов, занумерованное натуральными числами: красный=0, зеленый=1, синий=2, ... , и для каждого номера дано множество вещей этого цвета. В такой ситуации кортежем будет функция натурального аргумента, которая каждому номеру (=натуральному числу) сопоставляет вещь, окрашенную в цвет указанного номера. Понятно, что если вещей каждого цвета дано хотя бы пять-десять штук, то различных функций выбора будет бесконечно много.

От термина "функция выбора" происходит название обсуждаемой аксиомы. Другое название аксиомы Цермело - "аксиома выбора", AC, axiom of choice.

Аксиома выбора приводит к нескольким неожиданным выводам. Так, оказывается, что любое множество может быть упорядочено полным порядком (любые два элемента сравнимы и в любом непустом подмножестве есть наименьший элемент). Этот факт известен как теорема Цермело; он логически эквивалентен аксиоме выбора. Другой известный факт, эквивалентный аксиоме выбора, - лемма Цорна, находящая множество применений в алгебре.

Из аксиомы выбора следует, что шар можно разбить на две части, имеющих тот же объём, что и сам шар (парадокс Банаха-Тарского). Кроме того, из неё следует существование на вещественной прямой множеств, неизмеримых по Лебегу (исторически первый пример - множество Витали). Эти следствия создавали столь много неудобств для теоретиков матанализа, что ими было основано движение против всякого использования аксиомы выбора. Им не удалось этого сделать: проблемы начались уже на этапе построения числовой прямой. Оказалось, что аксиома выбора использовалась при доказательстве несчётности множества всех вещественных чисел, и даже более того: в доказательстве утверждения, что в любом бесконечном множестве есть счётное подмножество (т.е. подмножество, элементы которого можно перенумеровать натуральными числами).

В самом деле, вот классическое доказательство последнего утверждения. Пусть M - бесконечное множество. Возьмём в нём какой-нибудь элемент a1. Выкинем его из множества M; во множестве останется бесконечно много элементов. Выберем из оставшихся элемент a2. Выкинем его из M, в M останется бесконечно много элементов, выберем a3 и т.д. Получится счетное множество a1, a2, a3, ...
Аксиома выбора используется здесь при каждом выборе какого-нибудь элемента из M. Дело в том, что все элементы произвольного M равноправны, и нет явного способа написать предикат, позволяющий объективно предпочесть один элемент всем другим элементам. А всякий раз, когда выбор совершается неявно, нужна аксиома выбора.

Расселл иллюстрировал эту ситуацию таким примером. Пусть есть бесконечное множество пар ботинок. Тогда в каждой паре мы можем выбрать левый ботинок - это даёт нам явное словесное описание функции выбора, "выбрать в каждой паре левый ботинок". Но пусть теперь нам дано бесконечное множество пар шнурков. Шнурки делаются одинаковыми, и явного способа предпочесть один шнурок другому не имеется. Поэтому остаётся лишь констатировать факт, что каким-нибудь образом выбор шнурка из каждой пары может быть сделан, и явно описать этот выбор словами уже нельзя.

Обнаружив невозможность изгнать аксиому выбора, борцы с ней пошли другим путём: решили заменить её какой-нибудь другой аксиомой, которая сохраняла бы все нужные свойства множеств и запрещала бы множества с плохими свойствами. Этот подход оказался более плодотворен.

Так, один из конкурентов аксиомы выбора - аксиома счетного выбора, ACω.
Она утверждает, что декартово произведение счетного семейства непустых множеств не пусто, и ничего не говорит о ситуациях, когда I настолько бесконечно, что его нельзя перенумеровать натуральными числами. Эта аксиома покрывает большинство ситуаций, используемых в анализе. Но всё-таки не все: так, она не позволяет вывести теорему Бэра о категориях.

Более мощный инструмент - аксиома зависимого выбора (DC, axiom of dependent choice). Давайте вообразим ориентированный граф, из каждой вершины которого исходит стрелка. Тогда в этом графе есть хотя бы один путь счётной длины: A0→A1→A2→... Вершины в этом пути могут повторяться. В частности, если в вершине A есть петелька, то можно бесконечно нарезать круги A→A→A→... , поэтому обычно всё-таки требуют, чтобы петелек не было. Аксиома зависимого выбора несколько более наглядна, чем аксиома выбора, и для теоремы о категориях её достаточно. Можно доказать, что аксиома зависимого выбора следует из общей аксиомы выбора и влечёт аксиому счётного выбора: AC→DC→ACω.

Следование AC→DC очевидно: AC позволяет сделать выбор в каждом множестве исходящих стрелок и таким образом построить путь.

Следование DC→ACω также несложно. Пусть M0, M1, M2, ... - счетное семейство множеств, и пусть V - множество кортежей вида <m0>, <m0, m1>, <m0, m1, m2> и т.д. Здесь i-я компонента берётся из i-го множества. Примем V за множество вершин графа. Стрелку из кортежа <m0, m1, ... , mp> длины p в кортеж <n0, n1, ... , np, nq> длины q мы проведем, если и только если первые p элементов у этих кортежей совпадают. m0=n0, m1=n1, ... , mp=np, nq произвольно. Тогда применение DC к этому графу даст нам путь вида <m0> → <m0, m1> → <m0, m1, m2> → ... В этом пути последний элемент кортежа номер i даёт нам выбор элемента из i-го множества, и таким образом мы получаем функцию выбора на всех Mi.

Ещё одна из аксиом, которые здесь нужно упомянуть, - аксиома о булевом простом идеале (BPI, Boolean prime ideal theorem). Формулировке этой аксиомы нужно предпослать несколько понятий из общей алгебры.

Множество с частичным порядком называется решёткой, если для любых двух элементов a и b определены точная верхняя и точная нижняя грань, обозначаемые соответственно a∧b и a∨b. Дистрибутивная решётка - в которой (a∨b)∧c=(a∨c)∧(b∨c) (закон де Моргана). Ограниченная решётка - в которой есть наибольший элемент 1 и наименьший элемент 0. Комплементированная решётка - ограниченная, в которой для любого a есть такой "двойственный элемент" b, что a∨b = 1 и a∧b = 0. Решётки обычно изображаются диаграммами Хассе.

Комплементированная дистрибутивная решётка называется булевой.
Самая простая булева алгебра содержит два элемента 0 и 1 и три таблицы истинности - ИЛИ, И, НЕ. ∨ толкуется как "или", ∧ как "и". Элемент, двойственный к a, определяется как НЕ-a.

Булеву решётку можно считать коммутативным кольцом с единицей, в котором сложение - это ∨, умножение - это ∧. Идеалом в кольце называется множество, замкнутое по сложению и выдерживающее умножение на всевозможные элементы кольца. Идеал называется простым, если он не равен всему кольцу, а также обладает свойством простоты: если произведение ab лежит в идеале, то хотя бы один из элементов a, b лежит в идеале.

Аксиома BPI утверждает, что в булевой алгебре всегда есть простой идеал.

BPI следует из AC, но она слабее: можно доказать, что AC нельзя вывести из BPI. Из BPI следуют теорема Хана-Банаха, теорема Стоуна-Чеха о компактификации, теорема Тихонова для произведения хаусдорфовых компактов, теорема о существовании алгебраического замыкания для любого поля и многие другие теоремы. Также BPI даёт возможность упорядочить любое множество линейным порядком (а не гарантированно полным) и доказать, что декартово произведение непустых конечных множеств непусто. Из BPI не следуют ни DC, ни ACω. Есть модели ZF, в которых BPI и DC выполнено, а AC - нет.

AC можно переформулировать в терминах теории графов.
Скелет графа - его связный подграф, содержащий все вершины и не содержащий циклов. Скелет часто называют остовным деревом или остовом.

AC = у каждого связного графа есть скелет.

Некоторые другие утверждения, эквивалентные AC:
- теорема Цермело о вполне упорядочивании
- лемма Цорна
- принцип максимума Хаусдорфа
- в любом чуме есть максимальная антицепь
- между A и A×A есть биекция, если A бесконечно
- каждая сюръекция имеет сечение
- Крулль: нетривиальное кольцо с единицей имеет максимальный идеал
- Тихонов: произведение семейства компактных пространств компактно
- непустое множество можно наделить структурой группы
- у любого векторного пространства есть базис

В целом, в анализе не удалось заменить аксиому выбора никакой другой аксиомой. Анализ на основе DC выглядит самым перспективным, но без теоремы Тихонова и теоремы Хана-Банаха современный анализ всё-таки неполноценен. Ну а сочетание DC+BPI уже слишком мало отличается от AC, чтобы были основания урезать общность.

Иная ситуация в науке, которая называется дескриптивная теория множеств. В ней аксиома выбора с большим успехом была заменена так называемой аксиомой детерминированности, которую ввели в 1962 году Ян Мычельский и Гуго Штейнгауз.

Рассмотрим следующую игру. Пусть A - множество счетных последовательностей натуральных чисел. Играют два игрока. Первый пишет число a1, второй a2, первый a3, второй a4, ...
Так продолжается бесконечно. У них получается строка r. Первый игрок выигрывает, если r является элементом A, иначе выигрывает второй игрок.

Аксиома детерминированности (AD): у одного из двух игроков есть выигрышная стратегия.

Более формально это всё звучит так. Как и раньше, Пусть A - множество счетных последовательностей натуральных чисел. Уточним понятие стратегии. Рассмотрим множество конечных строк натуральных чисел. Разобьём его на два множества - E и O, множества строк соответственно четной и нечётной длины (пустая строка считается строкой четной длины). Функции со значениями во множестве натуральных чисел, определённые на E, называются стратегиями первого игрока; со значениями на O - второго игрока. Т.е. стратегия говорит игроку, какое число нужно дописывать. Пусть дана последовательность натуральных чисел. Она называется согласованной со стратегией S1 первого игрока, если любая её начальная подпоследовательность нечетной длины имеет вид "строка четной длины, дополненная значением S1 от этой строки"; согласованной со стратегией S2 второго игрока, если любая её начальная подпоследовательность ненулевой четной длины имеет вид "строка нечетной длины, дополненная значением S2 от этой строки". Стратегия S1 первого игрока называется выигрышной, если есть согласованная с ней последовательность, лежащая в A. Стратегия S2 второго игрока называется выигрышной, если есть согласованная с ней последовательность, не лежащая в A.

Из AD вытекает ACω. Еще из AD следует, что любое множество вещественных чисел измеримо по Лебегу, имеет свойство Бэра и либо счетно, либо континуально, таким образом AD прямо противоречит AC. По настоящее время AD остаётся плохо изученной аксиомой.

Итак, канон ZFC:
1. Экстенсиональность.
2. Неупорядоченная пара.
3. Объединение.
4. Булеан.
5. Схема выделения.
6. Схема подстановки (1922).
7. Пустое множество.
8. Бесконечность.
9. Регулярность (1930).
10. AC.

Канон начался с публикации Цермело 1908 года. Аксиомы 2 и 7 изначально объединялись в одну аксиому, так называемую аксиому элементарных множеств: "Cуществует пустое множество; для любой вещи a существует множество {a}; для любых двух вещей a и b существует множество {a,b}". Аксиома бесконечности давалась в виде: "Существует хотя бы одно множество, содержащее пустое множество и с каждым элементом a содержащее множество {a}". Аксиома выбора давалась в виде: "Если множество T состоит из непустых попарно непересекающихся множеств, то его объединение ∪T имеет хотя бы одно подмножество, пересекающихся с каждым из множеств из T в точности по одному элементу". В формулировке аксиом подстановки использовался термин "высказывательная функция", который позднее был уточнен с помощью исследования так называемых теорий первого порядка. Эта версия канона известна как теория Z. Z не запрещала существование урэлементов, но и не постулировала их существование.

В 1922 году Френкель и Сколем доказали, что аксиом Z недостаточно, чтобы утверждать, что {N0, N1, N2, ... } является множеством (N0 - натуральные числа, N^(n+1) = 2^N). Эту совокупность, однако, следует считать множеством, если имеется желание построить теорию ординалов, согласованную с канторовской теорией порядковых чисел. Таким образом, Цермело был вынужден принять в канон схему подстановки. Эта аксиома резко увеличила допустимые размеры бесконечностей. В 1925 году фон Нейман построил красивую теорию кумулятивной иерархии, опираясь на введённую им аксиому фундирования. Несколько лет спустя Цермело, весьма увлеченный кумулятивной иерархией, добавил в канон регулярность. Это введение одобрили не все теоретики; так, Куратовский предпочитал не пользоваться этой аксиомой в своих учебниках, а Френкель слишком любил урэлементы, которые аксиома выкидывала. Аксиома регулярности независима от остальных аксиом ZF (и даже ZFC) и не противоречит им.

--
В следующих постах: языки и модели; NBG и MK; теория ординалов и кардиналов; L, континуум-гипотеза и бриллиантик Йенсена; MA, PFA, и другие аксиомы форсинга; большие кардиналы; логика в топосах, ETCS и ETCC; (∞,n).