[ /b/ /u/ /rf/ /dt/ /vg/ /r/ /cr/ /lor/ /mu/ /oe/ /s/ /w/ /hr/ ] [ /a/ /ma/ /sw/ /hau/ /azu/ ] [ /tv/ /cp/ /gf/ /bo/ /di/ /vn/ /ve/ /wh/ /fur/ /to/ /bg/ /wn/ /slow/ /mad/ ] [ /d/ /news/ ] [ Главная | Настройки | Закладки | Плеер ]

Ответ в тред 147901. [Назад]
 [ Скрыть форму ]
Имя
Не поднимать тред 
Тема
Сообщение
Капча Капча
Пароль
Файл
Вернуться к
  • Публикация сообщения означает согласие с условиями предоставления сервиса
  • В сообщениях можно использовать разметку wakabamark
  • Для создания новых тредов надо указать как минимум один файл
  • На данной доске отображаются исходные имена файлов!
  • Разрешенные типы файлов: text, video, code, image, pdf, flash, vector, music, archive
  • Тред перестает подниматься после 500 сообщений.
  • Треды с числом ответов более 100 не могут быть удалены.
  • Старые треды перемещаются в архив после 40 страницы.

No.147901 Ответ
Файл: sdfljkh23sdfh1w.png
Png, 759.78 KB, 744×650 - Нажмите на картинку для увеличения
edit Find source with google Find source with iqdb
sdfljkh23sdfh1w.png
Этот тред будет посвящён алгебре - основным её объектам и её истории, с прицелом на простую формулировку матричной механики и на теорию Галуа. Изложение будет довольно консервативным, но всё-таки я буду исходить из предположения, что читатели знакомы с теорией множеств. Постить буду раз в несколько дней.
>> No.147902 Ответ
Основные книжки вот такие:
1. Бурбаки. Алгебра.
2. Ленг. Алгебра.
3. Винберг. Курс алгебры.
4. Ван дер Варден. Алгебра.
5. Кострикин, Манин. Линейная алгебра и геометрия.
6. Кострикин. Введение в алгебру.
7. Городенцев. Алгебра. Учебник для студентов-математиков.
>> No.147904 Ответ
Сначала немного истории.

Древнегреческую математику основал легендарный Пифагор, обучившийся в Египте. Про древнегреческую геометрию известно всем, про нумерологию пифагорейцев известно не меньше.

В Древней Греции было разделение чисел на собственно числа (целые положительные числа, как мы бы сказали) и на величины (два отрезка, соотнесённые с третьим). Греки свободно пользовались величинами, но до некоторого времени предполагали, что любые два отрезка соизмеримы (как мы бы сказали, греки изучали лишь положительные рациональные числа). Открытие несоизмеримых величин привело, по легенде, к трагедии (ruwiki://Гиппас_из_Метапонта).

Греки считали числа чем-то гораздо более ценным, чем величины. Они выделили среди чисел много подклассов: чётные и нечётные числа, простые числа, треугольные и вообще фигурные числа и многие другие. Особо крупным исследователем чисел был Диофант.

Долгое время греки думали, что есть самое большое число, - мириада, 10’000. Позднее они пришли к идее о тысяче мириад. Но не позднее 212 года до н.э. Архимед написал книгу "Псаммит", в которой показал, что самого большого числа не существует, для любого числа всегда можно придумать ещё большее число.

После падения античного мира математика развивалась в Индии и Китае. Например, именно там появилось понятие отрицательного числа. Крупные математические достижения принадлежат персидским учёным. Приблизительно в 830 году Абу аль-Хорезми написал книгу "Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала", "Трактат о восстановлении и уничтожении". В книге было рассказано о линейных и квадратных уравнениях. Название книги привело к появлению слова "алгебра". Латинский перевод книги начинался словами Dixit Algorizmi (сказал Алгоризми), что привело к появлению слова "алгоритм".

Представления европейцев о числах (в частности, наши) основаны на трактате Леонардо Пизанского, пользовавшегося псевдонимом Фибоначчи. В 1202 году он опубликовал "Книгу абака", в которой изложил позаимствованную у арабов позиционную систему счисления, а также поведал об основных арифметических операциях, включая действия с дробями и извлечение корней. При этом все действия с числами Леонардо описывал словесно. Известные нам арифметические значки введены в повседневную практику в основном благодаря Лейбницу (ruwiki://История_математических_обозначений).

В европейском мире об отрицательных числах не знали до революционной книги Фибоначчи. Тем не менее, отрицательные числа ещё долго не считались полноценными числами. Так, Паскаль считал, что 0-4=0. Вплоть до XVIII века обычной практикой было игнорирование отрицательных чисел, возникавших при решении уравнений, - считалось, что эти числа бессмысленны. Свойства отрицательных чисел считались странными. Активно обсуждался, например, парадокс Арно: " 1 : -1 = -1 : 1". Люди считали это тождество парадоксальным, во многом благодаря большой популярности в те времена так называемой теории пропорций (в России эта теория сохранилась в некоторых учебниках так называемой аналитической геометрии). Отрицательные числа стали считаться полноценными числами только благодаря просветительской деятельности Эйлера, Гаусса и других великих математиков Нового времени. Дискуссии о смысле правила знаков (умножение двух отрицательных чисел – положительное число) продолжаются, как ни странно, по сей день.

Иррациональные числа имели ещё более сложную судьбу. Несмотря на то, что изучением иррациональных величин занимался уже древнегреческий учёный Евдокс, первая теория иррациональных чисел появилась только в 1872 году (Дедекинд придумал свои сечения). Европейские математики разделяли иррациональные числа на алгебраические и трансцендентные. Алгебраические числа – это числа, которые можно получить из рациональных чисел с помощью извлечения корней. Трансцендентные – те, которые нельзя. Существование трансцендентных чисел было гипотезой, пока в 1761 году Лежандр не доказал трансцендентность числа пи. Иррациональные числа изучали в основном с помощью непрерывных дробей.

Комплексные числа были открыты, по-видимому, дель Ферро и его учеником Тартальей. Однако они держали открытие в тайне. Книгу с упоминанием комплексных чисел впервые опубликовал Кардано в 1545 году. Отношение к комплексным числам у европейцев было сложным. Они считали бессмысленными отрицательные числа; к корням из отрицательных чисел некоторые из них испытывали откровенную ненависть. Тем не менее, комплексные числа считались более простыми, чем иррациональные числа, - иррациональные изучали с помощью комплексных. Термин "комплексное число" ввёл Гаусс. Споры об осмысленности комплексных чисел в маргинальных кругах продолжаются до сих пор.

После работ Гаусса в общественном сознании закрепилось представление о комплексных числах как о полноценных числах. Это привело к поиску новых чисел, расширяющих комплексные, хотя сам Гаусс и считал, что комплексные числа нельзя расширить без потери каких-нибудь свойств. Мнение Гаусса оказалось, до некоторой степени, верным. Новые числа открыл Гамильтон в 1843 году. Он назвал их кватернионами. Кватернионы обладали удивительным для тех лет свойством: их умножение было некоммутативным, в кватернионах ab не обязательно равнялось ba. Кватернионы оказали сильное влияние на науку. При изложении теории кватернионов Гамильтон ввёл понятия скаляра, вектора, скалярного умножения и векторного умножения. Открытие Гамильтона быстро стало популярным. Например, Максвелл изначально записал свои уравнения электродинамики с помощью кватернионов.

В 1845 году Кэли открыл числовую систему, которую назвал октонионами. Эта числовая система имела непрактичную особенность: деление в ней было неоднозначным. Это не соответствовало тогдашним представлениям о числах, поэтому октонионы не были признаны числами. Вскоре после этого были изобретены так называемые седенионы и некоторые другие числовые системы.

В 1878 году Фробениус доказал теорему Фробениуса: существуют лишь три числовые системы, в которых имелась бы возможность однозначного деления и которые содержали бы вещественные числа. Это сами вещественные числа, комплексные числа и кватернионы. Из-за этой теоремы октонионы, седенионы и другие похожие на них системы не были признаны числами математическим сообществом.

В ходе дальнейших исследований некоторую значимость получила процедура Кэли-Диксона, она же процедура удвоения размерности. В современной терминологии, эта процедура позволяет порождать из вещественных чисел числовые системы, являющиеся так называемыми алгебрами Клиффорда. На первом шаге этой процедуры из вещественных чисел получаются комплексные числа, затем кватернионы, затем числа Кэли (октонионы), из них получаются седенионы, и так далее. Алгебры, идущие за седенионами, не имеют общепризнанных названий.

Эволюция чисел на этом не остановилась. В конце XIX века Куммер и позднее Кронекер и Дедекинд создали понятие идеального числа. В ходе изучения идеальных чисел и связанных с ними понятий появился объект под названием "поле" и, позднее, "кольцо". Можно считать, что числовые системы, изучаемые современной алгеброй, – это кольца, тела и поля. Тело и поле – разновидности кольца.

Так как сами по себе кольца очень абстрактны, в алгебре изучают кольца с дополнительными структурами, явно выражающими какие-то из тех свойств, которыми обладали исторические числа. Например, изучают кольца с возможностью деления, или кольца, на которых введён порядок, или кольца с однозначным разложением на множители, или какие-нибудь ещё. Особенно хорошо изучены так называемые коммутативные кольца.

Рациональные и иррациональные числа вместе называются вещественными (синоним: действительными). Вещественные числа весьма ценны: это единственное непрерывно упорядоченное поле. Ввиду этого свойства, вещественные числа всегда появляются тогда, когда нужно что-нибудь измерить. Порядок на вещественных числах обладает, как я уже сказал, свойством непрерывности. Это означает, что на вещественных числах существует операция предельного перехода. Считается, что предельный переход – неалгебраическая операция. Математику, в которой используется предельный переход, традиционно называют анализом. Развитие алгебры уже давно убило классический анализ.

Комплексные числа не менее ценны, чем вещественные числа. Причина этого в том, что комплексные числа – алгебраически замкнутое поле. Вещественные числа этим свойством не обладают. На комплексных числах нет какого-то естественного порядка, зато к ним можно всецело применять, например, результаты теории многочленов.

Традиционно алгебраические системы не изучают независимо, но конструируют друг из друга, - это служит доказательством их существования. Традиционная последовательность здесь такова.

Сначала на основе теории множеств создают натуральные числа N – например, с помощью аксиом Пеано. Затем с помощью натуральных чисел создают кольцо целых чисел Z – например, рассматривая целое число как класс эквивалентности пар натуральных чисел. Затем из кольца целых чисел создают поле рациональных чисел Q – например, рассматривая рациональные числа как поле частных кольца целых.

Затем из рациональных чисел создают вещественные числа R. Тут есть три стандартные конструкции: бесконечные десятичные дроби Стевина, дедекиндовы сечения в области рациональных чисел, а также классы эквивалентностей последовательностей Коши рациональных чисел. Эти три конструкции дают один и тот же результат, ибо, - это теорема, - существует только одно непрерывное упорядоченное поле, с точностью до изоморфизма. Идея доказательства единственности, кстати, такова: в каждом экземпляре поля вещественных чисел можно однозначно идентифицировать нуль и единицу. Это даёт нам возможность выделить сначала натуральные числа, потом целые, потом рациональные и потом последовательности рациональных. Существуют и нестандартные конструкции поля вещественных чисел, например Колмогоров получил R, рассматривая некоторое множество операторов.

Затем из вещественных чисел создают поле комплексных чисел C. Обычно его вводят, понимая под комплексным числом упорядоченную пару вещественных чисел. Иногда встречается определение с помощью квадратных матриц два на два. Из комплексных чисел можно построить кватернионы H, но обычно этого не делают, ограничиваясь комплексными числами. Каждая предыдущая числовая система вкладывается в каждую последующую. Например, каждое натуральное число является и целым, и рациональным, и вещественным, и комплексным, и кватернионом.

Стандартные операции вводят либо в каждой числовой системе независимо, либо только в поле комплексных чисел. Стандартные операции - это сложение, вычитание, умножение, деление; возведение в степень и извлечение корня; экспоненциирование и логарифмирование; наконец, тригонометрические функции. При введении операций на поле R существенно используется свойство его непрерывности. С введением тригонометрии обычно возникает некоторая трудность. Как правило, тригонометрические функции вводят, опираясь на школьные факты, зачастую недостаточно обоснованные. Например, на "первый замечательный предел", в обычном доказательстве которого используется недоказанная формула площади сектора окружности. Я считаю такое обращение с тригонометрией не очень приятным, - если уж мы считаем допустимым отождествлять множество R с числовой прямой и множество C с площадью Аргана, то мы вполне можем принять за аксиому, скажем, формулу Эйлера, или же просто определить синус и косинус с помощью рядов, как часто делают в анализе. Однако у комплексных чисел есть так называемые модуль и аргумент, которые существенно опираются на наивную геометрическую интуицию, поэтому совершенно абстрактное построение C представляется мне неразумным.

В 1930 году ван дер Варден написал книгу "Современная алгебра", в которой изложил результаты исследований своего учителя Артина и многих других учёных. Эта книга, в сочетании с поддержанной Гильбертом теоретико-множественной революцией начала XX века, привела к перерождению алгебры. Из науки о линейных уравнениях алгебра стала гораздо более абстрактной наукой, изучающей алгебраические структуры на множествах. Книга ван дер Вардена пережила много изданий. В 1955 году она вышла под названием "Алгебра", ибо алгебра ушла вперёд, и то, что раньше было современным, превратилось в классику. Современная нам алгебра (начавшаяся примерно в семидесятых годах) опирается на теорию категорий, появившуюся в середине двадцатого века и до сих пор эволюционирующую.

Подробнее о некоторых из упомянутых мной событиях можно прочитать в какой-нибудь книге по истории математики, например, в энциклопедии Юшкевича и Колмогорова или в очерках по истории математики Бурбаки.

В следующем посте я расскажу подробнее об объектах, которым будет посвящён тред.
>> No.147910 Ответ
>>147904
> Лежандр не доказал трансцендентность числа пи.
Не доказал. Это был Линдеман.
>> No.147911 Ответ
>>147910
Да, спасибо.
>> No.147919 Ответ
Это будет обзор алгебры вообще, или же с упором на конкретную её часть (например, на теорию групп)?
>> No.147923 Ответ
Файл: живность-работа-коты-в-необычных-местах-песочница.jpeg
Jpeg, 42.62 KB, 600×413 - Нажмите на картинку для увеличения
edit Find source with google Find source with iqdb
живность-работа-коты-в-необычных-местах-песочница.jpeg
Подписался на тред. Добра тебе.
>> No.147931 Ответ
>>147910
>>147911
Вы оба неправы. Линдеман действительно доказал трансцендентность пи, но было это в 1882 году, а не в 1761. В 1761 году Ламберт доказал иррациональность пи и высказал гипотезу о том, что пи и е трансцендентны. Доказательство Линдемана также не было первым явным доказательством существования трансцендентных чисел: первым был Луивиль, который, используя свою теорему о приближении алгебраических чисел рациональными, доказал в 1844 году трансцендентность некоторых чисел специального вида. Вообще, в оп-посте полно фактических ошибок. Настоятельная просьба ОПу следить за тем, что он пишет, а то читатели окажутся не просвещены, а введены в заблуждение.
> Алгебраические числа – это числа, которые можно получить из рациональных чисел с помощью извлечения корней.
На самом деле нет. enwiki://Algebraic_number#Numbers_defined_by_radicals
> Известные нам арифметические значки введены в повседневную практику в основном благодаря Лейбницу (ruwiki://История_математических_обозначений).
Враки же. Даже из статьи, на которую ты ссылаешься(и которую, видимо, не читал), следует, что дело было не так. Лейбниц ввел в общепринятую практику часть обозначений в нелюбимом тобой анализе, и, в общем, всё.

Мог бы указать ещё много неверных утверждений, но мне лень.
>> No.147936 Ответ
>>147919
Я намерен написать здесь много разных определений и доказать много теорем о них. Часть этих вещей будет популярной, часть - малоизвестной. Группы, между всем прочим, тоже будут. Ещё я напишу о приложениях алгебры и явным образом запишу несколько тривиальных алгоритмов, например, метод Гаусса.

>>147923
Добра и тебе, анон.

>>147931
Я всё-таки думаю, что роль Лейбница была очень важной. Лейбниц, как первый президент Берлинской академии, имел все силы для того, чтобы сделать континентальные математические обозначения такими, какими желал их видеть, и, на мой взгляд, сделал.
http://habrahabr.ru/company/wolfram/blog/254939/ вот кое-что о том, какой могла бы быть наша нотация.
>> No.147937 Ответ
Сейчас я намерен рассказать о нескольких объектах и понятиях, существование которых заслуживает, на мой взгляд, упоминания. Из них часто использоваться в этом треде будут только группы, кольца, поля, векторные пространства и алгебры, они в своё время будут определены ещё раз, более ясным образом. Сейчас эти объекты я определю бегло и формально.

Типичный объект алгебры как науки - это некоторое множество, называемое основным или же носителем, с несколькими операциями. Операция - это функция, которая нескольким объектам, которые иногда называются "операнды", сопоставляет элемент основного множества. Операцию, операнды которой всегда принадлежат основному множеству, мы называем внутренней. Может быть так, что вместе с основным множеством нам заданы несколько вспомогательных множеств. Операцию, операнды которой могут принадлежать этим вспомогательным множествам, мы называем внешней. Эти вспомогательные множества мы называем множествами операторов, а их элементы – операторами. Набор данных из носителя, операторных множеств и внутренних и внешних операций мы будем называть алгебраической системой, или, иногда, алгебраической структурой.

У разных операций может быть разное число операндов. Операции с одним операндом, двумя операндами, тремя операндами, ... n операндами мы называем, соответственно, "унарная операция", "бинарная операция", "тернарная операция", ... "n-арная операция". Бывают нульарные операции. Нульарная операция - это просто константа из основного множества. Бывают и бесконечно-арные операции (в качестве таковой можно рассматривать предельный переход), такие операции изучают анализ и топология. Примеров операций очень много. Например, возведение в квадрат и взятие натурального логарифма - унарные операции. Арифметические операции (сложение, умножение, вычитание и деление) – бинарные операции. В математике термин "n-арная операция" используется в основном в областях, граничащих с логикой и информатикой. Обычно под словом "операция" понимается бинарная операция, другие арности не упоминаются.

Бинарные операции, оба операнда которых принадлежат основному множеству, мы называем внутренним умножением. Бинарные операции, у которых один из операндов принадлежит множеству операторов, а один – основному множеству, мы называем внешним умножением. Мы будем рассматривать только внутренние и внешние умножения. Если не оговорено противное, в текстах ниже под внутренней и внешней операцией мы будем понимать внутреннее и внешнее умножение. Под объектами мы в дальнейшем (до привлечения теории категорий) будем понимать элементы тех множеств, на которых определены рассматриваемые нами операции.

Мы будем рассматривать четыре типа объектов: группоид, кольцоид, модуль и алгебру. Группоид - это одно основное множество с одним внутренним умножением. Кольцоид – основное множество с двумя внутренними умножениями, связанными правилом раскрытия скобок. Модуль и алгебра получаются из соответственно группоида и кольцоида, когда мы дополнительно вводим какое-то множество операторов и внешнее умножение на эти операторы.

Бинарные операции мы, обычно, будем записывать так же, как записываются арифметические операции. То есть будем писать два операнда, и между ними ставить значок операции. Например, если – операция, то символ a∘b есть результат применения операции к операндам a и b.

Мы будем называть объект e нейтральным элементом операции , если для любого объекта x верно, что x∘e = e∘x = x. Операция может иметь несколько различных нейтральных элементов, а может не иметь ни одного. Если у операции есть один-единственный нейтральный элемент, то мы будем называть объекты x и y взаимно обратными относительно операции , если x∘y = y∘x = e, где e – нейтральный элемент. Мы будем называть объекты x и y коммутирующими относительно операции , если x∘y = y∘x. Мы будем называть операцию коммутативной, если любые два элемента коммутируют относительно неё. Мы будем называть операцию ассоциативной, если для любых x, y, z верно, что x∘(y∘z) = (x∘y)∘z.

Пусть у нас есть несколько букв, например a,b,c,d. Мы можем составлять из этих букв конечные строки, например abcda. Такие строки мы будем называть словами. Во всяком слове мы можем расставить скобки и нужное количество раз применить к объектам, находящимся в одной скобке, операцию . Объекты, которые получаются в результате исполнения всех действий, указанных в слове, мы будем называть значениями слов. Скобки мы можем расставлять, вообще говоря, разными способами. Например, p = ((a∘b)∘((c∘d)∘a)) и q = ((a∘(b∘c))∘(d∘a)) – возможные значения слова abcda. У слова может быть много разных значений, — p и q, вообще говоря, не равны. Однако оказывается, что если операция ассоциативна, то значение слова не зависит от расстановки скобок, то есть в случае ассоциативной операции у каждого слова есть лишь одно значение. А если операция не только ассоциативна, но и вдобавок коммутативна, то одинаковые значения имеют любые два слова, отличающиеся лишь перестановкой букв. То есть если ассоциативна и коммутативна, то слова abcda, bdaca и aadcb имеют одно и то же значение.

Пусть у нас есть ассоциативная операция с нейтральным элементом e. Тогда мы можем определить возведение в целую неотрицательную степень n. А именно: x^n = e, если n = 0, и x^n = xxx ... x, где x повторяется n раз, если n > 0. Мы называем элемент x нильпотентным относительно нашей операции, если для некоторого целого положительного числа n верно, что x^n = 0. Мы будем называть элемент x идемпотентом, если xx = x. Мы будем называть операцию идемпотентной, если любой элемент идемпотентен относительно неё.

Несмотря на то, что объект, обозначенный буквой a, и сама буква a – это две разные вещи, мы иногда будем позволять себе отождествлять их. В своё время у нас появится конструкция, обосновывающая наше право на это.

Пусть у нас есть операция и два объекта, a и b. Мы можем составить тогда строки "a∘x = b" и "x∘a = b". Эти две строки мы будем называть уравнениями относительно x. С этой точки зрения, уравнения суть просто строки символов. Любой объект c такой, что a∘c = b, мы будем называть решением уравнения "a∘x = b". Аналогично, любой объект c такой, что с∘a = b, мы будем называть решением уравнения "x∘a = b". У уравнений может быть несколько разных решений, а может не быть ни одного. Случаи, когда у рассматриваемого нами уравнения есть решение, и притом единственное, представляют для нас особый интерес.

Пусть на основном множестве M задана операция, обозначенная значком . Тогда набор данных <M, ∘> мы будем называть "группоид" (синонимы: магма, система с одинарной композицией). Группоид, операция которого идемпотентна, называется идемпотентным. Группоид, операция которого коммутативна, называется коммутативным. Группоид, операция которого ассоциативна, называется полугруппой. Группоид, в котором для любых a и b оба уравнения "a∘x = b" и "x∘a = b" имеют хотя бы по одному решению, называется квазигруппой. Группоид, в котором есть нейтральный элемент, называется унитарным (unital) группоидом (синоним: группоидом с единицей). Унитарную полугруппу мы будем называть моноидом. Унитарную квазигруппу мы будем называть петлёй (loop), хотя надмозги довольно часто называют их лупами (лупы Муфанг, например). Группоид, который является и петлёй, и моноидом, мы будем называть группой. Группу, операция в которой коммутативна, мы будем называть абелевой группой или, синоним, коммутативной группой. В абелевых группах групповая операция обычно записывается с помощью значка +. В группах, которые не являются абелевыми, значок операции обычно опускают, например, вместо a∘b пишут просто ab. Несколько позже, повторюсь, группы будут определены более ясным образом.

Пусть теперь на основном множестве M заданы две операции, обозначенные значками + и ×, причём истинны два правила раскрытия скобок: a×(b+c) = a×b + a×c и (a+b) × c = a×c + b×c. Первое из них называется левой дистрибутивностью умножения относительно сложения, второе – правой. В этом случае набор данных <M, +, ×> мы будем называть "кольцоид" (ringoid, система с двойной композицией); это не общепринятый, но известный термин. Всякий кольцоид можно рассматривать как два группоида - <M, +> и <M, ×>. Первый из них называется аддитивным группоидом, второй – мультипликативным. Как правило, значок мультипликативной операции опускается.

Кольцоид, аддитивный и мультипликативный группоиды которого являются полугруппами, называется "полукольцо", semiring. Полукольцо, аддитивный группоид которого – группа, называется "почтикольцо", nearring. Кольцоид, аддитивный группоид которого – полугруппа, а мультипликативный – квазигруппа, называется "почти-полукольцо", near-semiring. Иногда эти требования усиливают, например требованием, чтобы полугруппы были моноидами.

Полукольца редко встречаются в учебниках, поэтому я приведу несколько примеров, оправдывающих введение специального термина для них.
1. Пусть <G,+> - конечная группа. Пусть M – множество всех отображений из G в G. В качестве аддитивной операции рассмотрим поточечное сложение отображений, т.е. (f+g) есть отображение, которое в каждой точке задаётся как (f+g)(x) = f(x) + g(x). В качестве мультипликативной операции рассмотрим обычную композицию отображений. На M получится почтикольцо.
2. Алфавитом называется множество символов. Языком над алфавитом называется какое-то множество строк конечной длины, составленных из этих символов. Для любых двух строк a и b определена строка-конкатенация ab, то есть строка, полученная приписыванием к строке a строки b. Для любых двух языков A и B определим язык-конкатенацию AB как множество всевозможных строк-конкатенаций ab, где a принадлежит языку A, B принадлежит языку B. Кроме того, для любых двух языков рассмотрим их объединение A∪B в теоретико-множественном смысле. Ясно, что обе эти операции ассоциативны. Множество M всех языков над конечным алфавитом с объединением в качестве аддитивной операции и конкатенацией в качестве мультипликативной будет полукольцом.
3. Рассмотрим множество R, дополненное символом . Положим a<∞ и a+~ = ~+a = ∞ для любого вещественного a. Определим операции и следующим образом: a⊕b = min{a.b}, a⊗b = a+b. Получится так называемое тропическое полукольцо. Операции называются соответственно тропическим сложением и тропическим умножением. Тропическое полукольцо лежит в основе тропической геометрии. Тропическая геометрия – это раздел математики, появившийся двадцать лет назад и имеющий пару приложений в экономике.

Кольцоид, в котором аддитивный группоид является абелевой группой, называется кольцом. При этом нейтральный элемент аддитивного группоида называется нулём кольца и обозначается 0. Если в кольце нет никаких элементов, кроме 0, то кольцо называется нулевым, иначе – ненулевым. Если в мультипликативном группоиде есть нейтральный элемент, то он называется единицей, а кольцо – кольцом с единицей. Если мультипликативный группоид кольца ассоциативен (то есть является полугруппой), то кольцо называется ассоциативным. Чаще всего под кольцом понимают ассоциативное кольцо. Если мультипликативный группоид кольца коммутативен, то кольцо называется коммутативным. Если мультипликативный группоид кольца идемпотентен, то кольцо называют булевым, или идемпотентным. Если x и y – ненулевые элементы кольца такие, что x×y = 0, то x и y называются делителями нуля, причём x – левым делителем, y – правым. Ненулевое кольцо, в котором нет делителей нуля, называется domain (общепринятого русского термина нет). Ненулевое коммутативное кольцо без делителей нуля называется областью целостности (integral domain). Кольцо, в котором все ненулевые элементы образуют группу, называется телом (division ring). Под мультипликативной группой тела понимается именно группа, образованная ненулевыми элементами. То есть мультипликативная группа тела – это мультипликативный группоид, из которого выкинули ноль. Поскольку в группе всегда есть единица, в теле всегда есть элементы, кроме нуля. То есть тело – ненулевое кольцо. В случае, когда ненулевые элементы кольца образуют абелеву группу, кольцо называется полем (field). То есть поле – это коммутативное тело. В поле всегда по крайней мере два элемента, 0 и 1, то есть поле – ненулевое кольцо. По ряду причин многим людям хочется иметь поле из одного элемента, но которое притом не было бы нулевым кольцом. Поиск такого загадочного объекта, - вернее, создание теории объектов, которые были бы похожи на поля, и в которой можно было бы соорудить "поле из одного элемента", - продолжается.

Об иерархии коммутативных колец, о которой я упомянул вскользь, я намерен рассказать позднее, несколько более внятным образом.
>> No.147938 Ответ
Перейдём к случаю, когда у нас есть внешнее умножение элементов основного множества на какие-то операторы. Интерес представляют ситуации, когда на основном множестве заданы какие-то дополнительные структуры, согласующиеся с умножением на операторы. Самая общая из практически полезных структур здесь – группа с операторами, когда на основном множестве задана структура группы и предполагается, что умножение на операторы дистрибутивно относительно операции в группе, то есть, если опустить значки, s(ab) = (sa)(sb), где s – оператор, a и b – элементы группы. Обобщением группы с операторами является "мультиоператорная группа", когда множеств операторов несколько. Группы с операторами активно исследовали создатели современной алгебры ровно век назад. Они придумали много интересных вещей, однако мы всё это рассматривать не будем и ограничимся изучением лишь модулей и алгебр.

Модуль – это абелева группа с операторами, а алгебра – это кольцо с операторами, причём операторы образуют ассоциативное коммутативное кольцо с единицей, обозначаемой 1 (в частности, могут быть полем). Операции в кольце операторов согласованы со внешним и внутренними умножениями в основном множестве. Условимся опускать значок для умножения на оператор, а сложение и умножение операторов обозначать значками + и ×.

Итак, операторы образуют кольцо с указанными свойствами.

Пусть основное множество – абелева группа с операцией, которую мы обозначим значком + (как и сложение операторов, но к путанице это не приведёт, поскольку при использовании значка + слева и справа от него всегда будут стоять элементы одного и того же множества). Мы будем говорить, что имеем дело с модулем над кольцом, если для любых двух элементов a и b основного множества и для любых двух операторов p и q выполняются четыре свойства:
1. (p+q)a= pa + qa (дистрибутивность внешнего умножения относительно сложения операторов)
2. p(a+b) = pa+pb (дистрибутивность внешнего умножения относительно групповой операции)
3. (p×q)a = p(qa) (нечто вроде ассоциативности умножения на оператор)
4. 1a = a (внешнее умножение на единицу кольца операторов не меняет элемент группы).
В случае, когда кольцо операторов образует поле, модуль над кольцом называется векторным пространством над полем. Элементы основного множества называются векторами, элементы поля операторов называются скалярами.

Теперь пусть основное множество – кольцо с операциями + и ×, называемыми сложением и умножением, причём относительно сложения основное множество образует модуль над кольцом операторов. Мы будем говорить, что имеем дело с алгеброй над кольцом, если умножение дистрибутивно относительно сложения и "ассоциативно" с умножением на оператор:
5. a×(b+c) = a×b + a×c 6. (b+c)×a = b×a + c×a 7. p(a×b) = (pa)×b = a×(pb) Здесь p – оператор, a,b,c – элементы основного множества.
Для алгебр определены понятия коммутатора и ассоциатора. Коммутатором двух элементов a и b называется элемент a×b-b×a. Ассоциатором трёх элементов a,b,c называется элемент (a×b)×c - a×(b×c). Коммутатор обозначается как [a,b], ассоциатор обозначается как (a,b,c). Алгебра называется ассоциативной, если операция × ассоциативна (эквивалентно: ассоциатор любых трёх элементов равен нулю). Алгебра называется коммутативной, если операция × коммутативна (эквивалентно: если коммутатор любых двух элементов равен нулю). Алгебра называется унитальной (синоним: алгеброй с единицей), если в ней есть нейтральный элемент относительно операции ×.

Существуют коммутативные, но неассоциативные алгебры. Например, алгебра, в которой верны свойства
i. a×b = b×a ii. ((a×a)×b)×a = (a×a)×(b×a) называется йордановой (Jordan algebra). Их ввёл Паскуаль Йордан, аксиоматизируя понятие наблюдаемых в квантовой механике, изначально они назывались "r-number systems".
Часто от умножения в алгебре требуют, чтобы оно подчинялось тождеству Якоби: (a×b)×c + (b×c)×a + c×(a×b) = 0, или чтобы оно было антикоммутативным: a×b = - b×a.

Важный класс алгебр – алгебра над полем. Всякая алгебра над полем, как модуль, является векторным пространством. Поэтому об алгебре над полем можно думать о векторном пространстве, в котором вдобавок определено хорошее умножение векторов. Многие алгебры над полем получаются именно при помощи введения какого-то умножения векторов.

Довольно часто алгебры снабжают дополнительной структурой, например, градуировкой, дифференцированием или нормой. Иногда рассматривают модули и алгебры над некоммутативными кольцами. В таких случаях приходится говорить о левых, правых и двусторонних модулях и алгебрах, и соответствующим образом модифицируют аксиомы умножения на оператор.

Алгебраические системы, - кольца, поля, алгебры, - важны. Но не менее важны их отображения. Функция, отображающая алгебраическую систему некоторого класса в систему того же класса, - например, алгебру в алгебру, группу в группу, - называется морфизмом алгебраических систем этого класса, если она согласована с операциями в этих алгебраических системах. Согласована – значит, перестановочна со внутренними и внешними операциями. Понятие морфизма весьма ценно, поэтому я буду ясным образом определять его всякий раз, когда в этом возникнет необходимость.

У алгебраических систем, как правило, есть подсистемы, - в алгебрах есть подалгебры, в группах есть подгруппы, в пространствах есть подпространства, и т.п. Подсистема алгебраической системы – это подмножество её носителя, само являющееся системой того же класса относительно тех же операций. Одна из основных проблем алгебры – изучение подсистем некоторой данной системы. Например, изучение взаимосвязей между подкольцами некоторого данного кольца.

У нас часто будет возникать необходимость построить алгебраическую систему с некоторыми нужными нам свойствами, - то есть доказать, что такая система существует. Как правило, для этого мы будем пользоваться двумя операциями: взятием факторсистемы и расширением системы. Взятие факторсистемы – это введение на алгебраической системе некоторого отношения эквивалентности и затем переход ко множеству классов эквивалентности по этому отношению, причём отношение вводят так, чтобы операции над классами можно было бы свести к операциям над представителями этих классов в исходной системе. Расширение системы – это погружение алгебраической системы в некую новую систему того же класса, но содержащую гораздо больше элементов. При расширении системы мы будем требовать сохранения внутренних и внешних умножений. Исследованию этих двух действий будет посвящено несколько постов.

Пардон за опечатки и другие глупости.
>> No.147942 Ответ
>>147936
> http://habrahabr.ru/company/wolfram/blog/254939/ вот кое-что о том, какой могла бы быть наша нотация.
Это ещё одна статья, которой ты не читал? В этой статье по поводу нотации Лейбница сказаны следующие вещи: а)Лейбниц придумал современные обозначения для интеграла и дифференциала(с чем я не спорю); и б)Лейбниц также использовал некие обозначения, которые не употребляются сегодня. Если ты видишь в статье доказательства того, что Лейбниц ввел большую часть современных математических символов, то укажи, где ты их видишь.
> Я всё-таки думаю, что роль Лейбница была очень важной. Лейбниц, как первый президент Берлинской академии, имел все силы для того, чтобы сделать континентальные математические обозначения такими, какими желал их видеть, и, на мой взгляд, сделал.
Отличная логика. А президент королевского научного общества Ньютон такого веса, типа, не имел и свои обозначения не вводил(hint: имел и вводил. Например, практически все обозначения классического анализа и механики, кроме двух, придуманных Лейбницем, ввел Ньютон) ?
>> No.147943 Ответ
>>147942
По-моему, имеет место недопонимание. Я не утверждал, что Лейбниц изобрёл большую часть современных математических символов. Я считаю, что Лейбниц изучил современные ему математические обозначения, отобрал из них те, которые нравились лично ему, и благополучно их зафорсил на века вперёд благодаря своему академическому весу и, особенно, своему журналу. В статье на хабре описано, какой могла бы быть альтернативная нотация. Например, мы могли бы сейчас использовать символ П вместо равенства и неравенств. Это моё ИМХО.
>> No.147945 Ответ
>>147943
>>147943
> Например, мы могли бы сейчас использовать символ П вместо равенства и неравенств.
В точности как Лейбниц, то есть? Ты говоришь, что если бы Лейбниц не ввёл "правильную" нотацию, то мы бы пользовались "неправильной". Но ты не предоставляешь доказательств того, что Лейбниц действительно вводил "правильную" нотацию, и более того, из представленной тобой информации явно видно, что сам Лейбниц пользовался нотацией "неправильной" - записи, в которых П используется вместо =, предоставленные по ссылке, принадлежат самому Лейбницу.
> Я считаю, что Лейбниц изучил современные ему математические обозначения, отобрал из них те, которые нравились лично ему, и благополучно их зафорсил на века вперёд благодаря своему академическому весу и, особенно, своему журналу.
Твою позицию я понял уже три поста назад. Я говорю о том, что если у тебя и есть доказательства этой позиции, то в этом треде предоставлены они не были.
>> No.147946 Ответ
>>147945
Я не утверждаю, что Лейбниц вводил нотацию. Я утверждаю, что он зафорсил нотацию, которой мы пользуемся сейчас. В его время было много конкурирующих нотаций. Нашей нотацией стала та, которая нравилась Лейбницу и которую он распространял через академию и Acta.
>> No.147948 Ответ
>>147946
> Нашей нотацией стала та, которая нравилась Лейбницу
И которой он не пользовался, как показывают фотографии по данной тобой же ссылке.
>> No.147949 Ответ
Файл: acta.jpg
Jpg, 299.61 KB, 1198×775 - Нажмите на картинку для увеличения
edit Find source with google Find source with iqdb
acta.jpg
>>147948
Вот скрин из Acta, демонстрирующий нотацию, которую в конце концов избрал Лейбниц и которую он сотоварищи форсили всей академией. На этом скрине видно, что в журнале используются современные символ равенства, радикал, показатель степени, плюс и минус, а также черта дроби.
В статье на хабре - варианты, которые Лейбниц обдумывал и которые отверг.
>> No.147950 Ответ
>>147949
Плюс больше похож на железный крест.
>> No.147951 Ответ
>>147949
Ок, такое доказательство я принимаю. Что стоило запостить этот скрин сразу?
>> No.147952 Ответ
>>147951
У меня его не было, я залез в архив только что. О вкладе Лейбница я слышал из других источников, которые сейчас не могу вспомнить. В любом случае, современная математическая нотация утвердилась лишь в конце семнадцатого века.

>>147950
Олдскульный прусский шрифт же.
>> No.147960 Ответ
Можешь пожалуйста, если моя просьба не сильно дилетантская и если это возможно, проводить аналогии или давать житейские примеры? Как на яблоках лол. Человек, не привыкший к терминам алгебры, охуевает немного, простите.
>> No.147961 Ответ
>>147960
Это нормально, анон. Можно привыкнуть. Когда начнутся категории, будешь охуевать по-настоящему :3
>> No.147971 Ответ
Файл: Tetrahedral_group_2.png
Png, 338.84 KB, 753×1024 - Нажмите на картинку для увеличения
edit Find source with google Find source with iqdb
Tetrahedral_group_2.png
>>147960
Можно. Группы симметрий, например. Суть: есть обратимые преобразования вроде отражений и поворотов. И есть некоторый геометрический объект. Так вот, мы берём те преобразования, которые переводят объект в самого себя, а умножение определяем как композицию преобразований.
Так вот, набор преобразований с умножением образуют группу: композиция ассоциативна, есть нейтральный элемент (поворот на угол 0), композиция преобразования и его обращения даёт нейтральный элемент (поворот в одну сторону, а затем такой же поворот обратно — то же самое, что поворот на угол 0)
Пикрелейтед: группа вращений правильного тетраэдра
Есть важное понятие: изоморфизм. Пусть у нас есть две группы. Тогда, если мы можем взаимно-однозначно сопоставить элементы первой группы элементам второй, да так, чтобы a·b = α×β для любых a, b и (·) из первой группы и α, β и (×) из второй группы, мы зовём эти группы изоморфными
По сути, две изоморфные группы являются одним и тем же, за исключением происхождения. Примеры: группы вращений правильного N-угольника на плоскости изоморфна группе сложения по модулю N, а группа поворотов и отражений правильного треугольника изоморфна группе перестановок трёх элементов.
>> No.147976 Ответ
Файл: ici.jpg
Jpg, 161.72 KB, 600×631 - Нажмите на картинку для увеличения
edit Find source with google Find source with iqdb
ici.jpg
>>147971
Спасибо, а то так в учебнике редко растолковывают.
>> No.147978 Ответ
Файл: Вавилов-Н.-Конкретная-теория-групп.-Основные-понят.pdf
PDF, 2652.33 KB, 612×792, 548 страниц - Нажмите на картинку, чтобы скачать файл
Вавилов-Н.-Конкретная-теория-групп.-Основные-понят.pdf
>>147976
Вот, можешь ещё взять вот эту книжку.
>> No.147982 Ответ
Файл: _s_p_a_c_e____o_u_t__by_vashperado-d4dn7sa.jpg
Jpg, 361.50 KB, 1920×1080 - Нажмите на картинку для увеличения
edit Find source with google Find source with iqdb
_s_p_a_c_e____o_u_t__by_vashperado-d4dn7sa.jpg
>>147978
Шикарно, начал читать, очень понравилось. Мне больше привычен физический подход, но книга люто годная. Чтоб у тебя все было лучше всех, анон. :3
>> No.147983 Ответ
>>147982
Физики многие вещи понимают по-своему, если ты об этом. Пример с векторами весьма показателен. И группы для них весьма конкретны. Есть какая-то группа U(1), SU(2), SU(3), SO(32), которые мыслятся как самостоятелные сущности, но вообще группы куда интереснее и многообразнее сами по себе, чем эти несколько взятых по отдельности представителей всего их многообразия. Иначе не было бы теории групп :3
>> No.148001 Ответ
Файл: 2015-12-05_11-45-28.jpg
Jpg, 15.11 KB, 539×124 - Нажмите на картинку для увеличения
edit Find source with google Find source with iqdb
2015-12-05_11-45-28.jpg
Чот проиграл с копроизведения.
>> No.148004 Ответ
>>148001
Что поделаешь. В категориях каждое Х обычно имеет двойственное (или дуальное, если хочется загадочности) ко-Х. Это весьма общее свойство категорий и в частном случае с декартовым произведением копроизведением (дуальным к декартову произведени объектом) будет дизъюнктивное объединение, прямая сумма или что-то ещё, в зависимости от объектов, к которым это относится. У ядра есть коядро, у предела - копредел, у цикла - коцикл и т.д.. Да, меня тоже сначала развеселил этот термин
>> No.148005 Ответ
>>147961
Категории могут удивлять только своей бесполезностью за исключением тривиальных материй, где эта нотация может дать какое-то преимущество.
>> No.148015 Ответ
Файл: cGO39.png
Png, 95.18 KB, 965×596 - Нажмите на картинку для увеличения
edit Find source with google Find source with iqdb
cGO39.png
>>147978
Охуительно. Моар подобного в изложении.
Мимо аспирант~
>> No.148019 Ответ
Файл: 2015-11-27_15-39-40.jpg
Jpg, 46.10 KB, 533×441 - Нажмите на картинку для увеличения
edit Find source with google Find source with iqdb
2015-11-27_15-39-40.jpg
>>148015
Это одна из 5 книг кажется.
>> No.148020 Ответ
Файл: Теория-множеств.-...
PDF, 2037.29 KB, 595×842, 325 страниц
Теория-множеств.-Вавилов-Н.pdf
Файл: Конкретная-теория...
PDF, 877.59 KB, 595×842, 139 страниц
Конкретная-теория-колец.-Вавилов-Н.-2010.pdf

>>148019
Трёх, кажется. Остальные - то ли ревизии, то ли ХЗ. Букрилейтед, если кому интересно будет.
>> No.148033 Ответ
Файл: котэ-2409897.jpeg
Jpeg, 156.53 KB, 540×810 - Нажмите на картинку для увеличения
edit Find source with google Find source with iqdb
котэ-2409897.jpeg
Аноны, тут пацан один (не я), решил тоже позаниматься. Но ему не то что до теории множеств далеко, он и в школьной математике проседает сильно. Я подумал, что может ему начать с основ логики и дискретки? Чтобы привыкнуть хотя бы просто к математике.
>> No.148035 Ответ
Моя проблема в том, что я постоянно ошибаюсь в счете. Допустим, надо быстренько решить систему линейных уравнений.
a+3c=-1
2b+c=0
a-b=4
Выражаю c=-2b, подставляю в первое, получаю a+(-2b)=-1, забывая умножить на 3, и из-за неверного результата весь последующий пример не решается. Через неделю рубежный контроль, а я даже не представляю, как буду решать 10 заданий за 50 минут. Как стать внимательнее при счете при этом укладываться по времени?
>> No.148036 Ответ
>>148033
> Но ему не то что до теории множеств далеко, он и в школьной математике проседает сильно.
Озадачило это странное высказывание. Вообще, в знакомстве с множествами школьная математика, как будто, ни помогает, ни мешает. То есть, она вообще сбоку и ни на что не влияет. В школьном курсе надрачиают и задрачивают типовые примерчики, однообразные и унылые. Пусть смело бросается на множества и с ними получает представление, how real mathematics done, лол.
Ятакщитаю
>> No.148037 Ответ
>>148036
Ммм, ну ок. Я думал там мож логику или еще что-то такое, что не максимально абстрактное. Пасиба, за ответ.
>> No.148039 Ответ
Файл: 13282735007219.jpg
Jpg, 185.60 KB, 1013×724 - Нажмите на картинку для увеличения
edit Find source with google Find source with iqdb
13282735007219.jpg
>>148035
Няш, я не думаю, что проблемы внимания и концентрации - это математические проблемы. Кроме того, этот тред не является альтернативой Кафедре математики или Обучения-математике треду. Всё-таки ОП декларировал обзор алгебры, а не Народный Математики Тред. Упражняйся.
В любом случае, удачи.

>>148037
Зачем отдельно изучать матлогику, если только это не вопрос специализации? Это моё личное мнение, но начиная с оснований, лучше всё-таки начать со множеств. И ещё вопрос, что именно ему вообще надо и зачем.
>> No.148042 Ответ
>>148037 го
Логика это весьма специфический раздел математики. Настолько специфический, что автор выложенной выше книжки говорит, что это не математика и всячески относится к ней, как к чему-то плохому. Видимо его совсем замучили дубовым формализмом, лол.
Я помню две книги-введении в математику вообще. Первая — «Что такое математика?» Куранта, и вторая — Love and Math (да, на английском), совсем популярная книга, где кроме кулстори о том, как злое КГБ угнетало евреев есть ещё обзор того, чем математики занимаются.
>> No.148043 Ответ
Файл: пучки.png
Png, 192.70 KB, 1194×957
edit Find source with google Find source with iqdb
пучки.png
Файл: Йех.-Недостижимые...
Png, 119.11 KB, 560×884
edit Find source with google Find source with iqdb
Йех.-Недостижимые-кардиналы.png

>>148042
Логика - это вообще отдельная наука, мало пересекающаяся с математикой. Это чувствуется даже в текстах начальных книг, вот два скрина для сравнения. Математика и логика изучают разные вещи разными методами.
>> No.148044 Ответ
>>148043
Да-да, они разные по духу, это понятно. Но с другой стороны, у нас и без логики как минимум две математики.
>> No.148115 Ответ
ОП, ты куда делся?
>> No.148116 Ответ
Файл: slowpoke_s_by_mayitow-d7hxgdb.png
Png, 288.64 KB, 1024×768 - Нажмите на картинку для увеличения
edit Find source with google Find source with iqdb
slowpoke_s_by_mayitow-d7hxgdb.png
>>148115
Я на месте, просто слоупочу немножко.
>> No.148302 Ответ
Сегодня-завтра допишу продолжение.
>> No.148303 Ответ
Файл: iETb5zTNfmZ5c.jpg
Jpg, 23.03 KB, 324×371 - Нажмите на картинку для увеличения
edit Find source with google Find source with iqdb
iETb5zTNfmZ5c.jpg
>> No.148307 Ответ
Файл: wtf_photos_from_the_past_85.jpg
Jpg, 91.32 KB, 700×452 - Нажмите на картинку для увеличения
edit Find source with google Find source with iqdb
wtf_photos_from_the_past_85.jpg
>>148302
Отлично.
>> No.148322 Ответ
>>147901
ОП, единственный вопрос: зачем? Есть записи курса по алгебре из НМУ. Просто кому-то читать на борде удобнее, чем слушать годные рассказы?
>> No.148323 Ответ
>>148322
Да, по крайней мере некоторым удобнее читать здесь. Кроме того, НМУ всё-таки не на обычных людей ориентируется, а на уже более-менее образованных.
>> No.148343 Ответ
>>148302
> Сегодня-завтра допишу продолжение.
> 2015-12-18
>> No.148344 Ответ
Файл: Slowpoke_avangard.jpg
Jpg, 7.34 KB, 336×306 - Нажмите на картинку для увеличения
edit Find source with google Find source with iqdb
Slowpoke_avangard.jpg
>>148343
Ну пишу я, пишу.
>> No.148345 Ответ
>>148343
Он же блять не копипастит, а сам пишет.
>> No.148434 Ответ
Предположим, что у нас есть какой-то объект, который может находиться в каких-то состояниях и переходить из одного состояния в другое с помощью движения, - например, глобус можно поворачивать на оси вперёд-назад, стрелка часов может двигаться взад-вперёд по циферблату. Предположим ещё, что эти движения обратимы, - если объект перешёл с помощью какого-то движения из первого состояния во второе, то существует движение, с помощью которого объект может перейти из второго состояния обратно в первое. Будем думать об этих движениях как о самостоятельно существующих вещах. Будем думать, что неподвижность – это тоже движение, то есть неподвижность – это движение, при котором состояние объекта не меняется. Будем ещё думать, что последовательное выполнение двух движений – это тоже движение, мы будем называть его композицией.
Непустое множество движений объекта называется группой, если вместе с каждым движением оно содержит обратное ему движение, и вместе с каждой парой движений оно содержит их композицию.
Из этого определения легко вывести, что каждая группа содержит неподвижность: так как группа не пуста, она содержит какое-то движение, следовательно содержит обратное ему движение, следовательно содержит их композицию, то есть неподвижность.
Это определение можно переформулировать уже без всяких упоминаний о каком-то объекте, о его состояниях и движениях.
Множество M с бинарной операцией ∘ называется группой и обозначается <M, ∘>, если выполняются три условия:
1. Существует e∈M такой, что x∘e = e∘x = x для любого x∈M. Элемент e называется нейтральным.
2. Для любого x∈M существует x’ ∈M такой, что x∘x’ = x’∘x = e. Элементы x и x’ называются противоположными. Противоположным элементом нуля является нуль.
3. Для любых x,y,z из M верно равенство (x∘y) ∘z = x∘(y∘z). Это равенство называется ассоциативностью.
Так определенное понятие группы вполне согласуется со сказанным ранее. Элементы группы суть движения. Бинарная операция суть композиция движений. Нейтральный элемент суть неподвижное движение объекта, противоположные элементы суть противоположные движение, а свойство ассоциативности отражает тот факт, что результат выполнения трёх движений не зависит от того, как группировать движения.
Группы, в которых дополнительно выполняется свойство
4. Для любых x,y из M верно, что x∘y = y∘z называются абелевыми (синоним: модулями). Если продолжать думать об элементах группы как о движениях, абелевость означает, что результат набора движений не зависит от порядка, в котором эти движения применяются.

В неабелевых группах мы часто будем обозначать групповую операцию точечкой ∙. Операцию в абелевых группах мы будем обозначать +. Нейтральный элемент мы часто будем называть нулём и обозначать 0 или же называть единицей и обозначать 1, это зависит от того, какой нотацией для записи групповой операции мы пользуемся, аддитивной или мультипликативной.

Группами являются, в частности, целые, рациональные и вещественные числа с операцией сложения. Нейтральным элементом этих групп является 0, противоположные элементы – это элементы, различающиеся знаком (например, противоположными будут 5 и -5, 7 и -7). Эти группы к тому же абелевы. Натуральные числа не являются группой, так как, например, нельзя сложить два положительных целых числа и получить ноль, - свойство 2 для натуральных чисел не выполняется.
Значок групповой операции мы обычно будем опускать точно так же, как при умножении чисел обычно опускают значок умножения, то есть вместо x∘y мы обычно будем писать просто xy (хотя значок + мы опускать обычно всё же не будем). Мы также часто будем отождествлять множество, на котором задана группа, и саму эту группу, то есть под словами "группа M" мы обычно будем понимать группу <M, ∘>, если только это не будет приводить к путанице, конечно.

Пусть у нас есть две группы. Пусть f – это функция, отображающая первую группу во вторую (то есть, в силу нашей оговорки, множество, на котором задана первая группа, во множество, на котором задана вторая группа). Мы будем называть функцию f гомоморфизмом, если она перестановочна с групповой операцией, то есть выполняется свойство f(xy) = f(x)f(y), - здесь слева от знака равенства под знаком функции стоит композиция в первой группе, справа от знака равенства стоит композиция во второй группе. Образ первой группы мы будем называть образом гомоморфизма и обозначать Im f, полный прообраз нейтрального элемента второй группы мы будем называть ядром гомоморфизма и обозначать Ker f. Нетрудно проверить, что гомоморфизм переводит нейтральный элемент в нейтральный элемент.
Сюръективный гомоморфизм мы будем называть эпиморфизм, или эпик.
Инъективный гомоморфизм мы будем называть мономорфизм, или моник.
Биективный гомоморфизм мы будем называть изоморфизм (позднее понятие изоморфизма будет существенно уточнено).
Гомоморфизм группы в себя мы будем называть эндоморфизм.
Изоморфизм группы в себя мы будем называть автоморфизм.
Нетрудно проверить, что композиция гомоморфизмов – гомоморфизм.

Мы будем называть две группы изоморфными, если между ними есть какой-то изоморфизм. Изоморфизм – биекция, а биекция, как известно, имеет обратное отображение. Нетрудно проверить, что это обратное отображение также будет изоморфизмом.

Пусть на группе задано какое-то отношение эквивалентности ~. Мы будем называть это отношение стабильным слева, если из того, что a~b для любого x следует, что xa~xb; стабильным справа, если из того, что a~b для любого x следует, что ax~bx; двусторонне стабильным (синонимы: регулярным, конгруэнцией), если оно стабильно слева и справа. Здесь a,b и x – элементы группы, конечно.

Если в группе G задано регулярное отношение эквивалентности, то мы можем ввести структуру группы на классах эквивалентности по этому отношению. А именно. Класс эквивалентности, в который входит элемент x, мы обозначим как [x]; мы будем говорить, что x является представителем класса K, если K = [x]; композицией классов [x] и [y] объявим класс [xy]. Легко доказать, что, в силу регулярности, композиция классов не зависит от выбора представителей в классах. В самом деле, пусть K и L – два класса, пусть p и q – представители K, пусть x и y – представители L. Заметим, что p~q и x~y, и по регулярности px~qx и qx~qy. Поэтому [p][x] = [px] = [qx] = [qy] = [q][y]. Нейтральным элементом будет [0], обратным элементом для [x] будет [x’]. Группа классов эквивалентности G по регулярному отношению ~ называется факторгруппой G по ~ и обозначается G/~. Мы можем построить естественный гомоморфизм из G в G/~, для этого каждый элемент x отобразим в [x]. Это отображение, как нетрудно проверить, действительно будет гомоморфизмом. Ядром естественного гомоморфизма является класс эквивалентности нейтрального элемента, [e].

Теперь докажем несколько простых теорем, вытекающих из определения группы.
1. В группе есть только один нейтральный элемент. В самом деле, пусть x – такой элемент, что для любого y верно, что y = yx. Тогда, взяв в качестве y нейтральный элемент e, получаем, что e = ex = x.
2. Обратный элемент определен однозначно. В самом деле, пусть x – элемент группы и y – такой элемент, что xy = yx = e. Тогда y = ey = (x’x)y = x’(xy) = x’e = x’.
3. Обратный элемент к обратному элементу к x есть сам x, т.е. (x’)’ = x. То, что x является обратным для x’, следует из определения обратного для x, а единственность только что доказана.
4. В группе уравнения "ax = b" и "xa = b" однозначно разрешимы относительно x. Решениями будут a’b и ba’ соответственно. Если x и y – два решения уравнения "ax=b", то x = ex = (a’a)x = a’(ax) = a’b = a’(ay) = (a’a)y = ey = y, что и означает однозначность.
5. Разрешимость уравнений "ax = b" и "xa = b" в каком-то моноиде (однозначность не требуется, а получается как следствие), означает, что этот моноид является группой. В самом деле, нейтральный элемент и ассоциативность следуют из определения моноида, обратный же элемент для a есть решение уравнения "ax = e". Из-за ассоциативности этот же элемент, как легко проверить, будет решением уравнения "xa = b".


Пусть <G, ∘> - группа. Пусть M – подмножество G. Мы будем говорить, что множество M с операцией ∘ является подгруппой группы G, если:
1. Нейтральный элемент e группы G есть элемент M
2. M вместе с каждым элементом x содержит обратный ему элемент x’.
3. M вместе с каждыми двумя элементами x и y содержит элемент xy.
Иными словами, M – подгруппа G, если M само является группой относительно тех же операций. Требование, чтобы подгруппа содержала нуль, можно заменить требованием, чтобы группа была непустой, - тогда нуль будет содержаться в подгруппе из-за пунктов 2 и 3.
В каждой группе G есть две подгруппы, называемые несобственными. Это группа {e}, состоящая из одного нейтрального элемента, и сама группа G. Остальные подгруппы, - их может и не быть, - называются собственными.
Пусть M – подмножество группы G, а x – элемент группы g. Мы можем определить умножение элемента x на подмножество M слева. Определим мы его так: xM есть множество всех элементов группы G вида xm, где m∈M. То есть мы берём элемент x, поочередно умножаем на него слева все элементы множества M и получаем таким образом какое-то подмножество "xM" в G. Так как умножение в группе ассоциативно, мы можем считать, что наше умножение элемента группы на подмножество группы ассоциативно: для любых a,b из G и для любого M⊂G верно, что a(bM) = (ab)M, ибо a(bm) = (ab)m. Равенство здесь, конечно, понимается в теоретико-множественном смысле, как равенство двух множеств. Сразу заметим, что если нейтральный элемент e умножить на множество M, то результатом будет само множество M.
Далее мы можем определить умножение элемента x на подмножество M справа: Mx есть множество всех элементов группы G вида mx, где m∈M. Если группа коммутативная, то между умножениями слева и справа разницы нет, если же группа не коммутативная, то xM вообще говоря не равно Mx.

Пусть H – подгруппа в группе G, x – элемент группы G. Всякая подгруппа в G является также и подмножеством в G. Это позволяет нам ввести понятие смежного класса. Левым смежным классом элемента x по подгруппе H мы будем называть xH, правым смежным классом элемента x по подгруппе H мы будем называть Hx. Левый и правый смежный классы элемента по подгруппе, вообще говоря, не равны. Подгруппу H в G такую, что для любого элемента x из G левый смежный класс x по H равен (в теоретико-множественном смысле) правому смежному классу x по H, мы назовём нормальной. То есть H – нормальная подгруппа, если xH = Hx для любого x из G.

Если x – элемент подгруппы H, то смежный класс xH равен самой подгруппе H, – то, что xH ⊂ H, следует из третьего пункта определения подгруппы, а то, что H⊂xH, вытекает из того, что H содержит x’, для любого h∈H содержит произведение x’h и потому каждый элемент h∈H может быть получен в результате умножения x на x’h, каковое умножение и происходит хотя бы однажды по определению умножения элемента на подмножество.

Зададимся вопросом, сколько же различных смежных классов можно получить, умножив каждый из элементов G на подгруппу H. Может случиться так, что даже если элемент a не равен элементу b, смежный класс aH равен смежному классу bH. Это, например, происходит в случае, когда H содержит элемент a’b (в самом деле, aH = a(a’bH) = (aa’)bH = bH). Поэтому количество различных смежных классов по подгруппе, вообще говоря, меньше количества элементов в самой группе. Количество элементов в группе G (то есть мощность множества G) называется порядком группы. Количество же смежных классов группы G по подгруппе H называется индексом подгруппы H в группе G (левых классов столько же, сколько правых классов, - нужная биекция в том, что множество элементов, обратных к элементам левого смежного класса, образует правый смежный класс, то есть классу xH сопоставляется класс Hx’, - поэтому левый индекс равен правому индексу и мы можем говорить просто об индексе).
Дальше я буду вести речь в основном о левых смежных классах, для правых формулировки будут аналогичными.

Два различных смежных класса, обозначим их как aH ≠ bH, не пересекаются, ибо если бы они имели общий элемент x, то для некоторых p и q из H было бы верно, что ap = x и bq = x, откуда получалось бы ap = bq, a’ap = a’bq, и pq’ = a’b, что означало бы, что a’b является элементом H и поэтому, по примеру выше, aH = bH. Возникало бы противоречие с условием. Поэтому для всякого элемента g группы G есть не более одного смежного класса xH по подгруппе H, в который он попадает. А так как один смежный класс несомненно есть, а именно gH (так как H содержит e, gH содержит ge=g), всякий элемент группы G попадает в один и только один смежный класс по подгруппе H. Поэтому мы можем считать, что всякий элемент x смежного класса aH однозначно определяет этот самый класс; мы будем говорить, что x является представителем смежного класса. В случае, когда мы особенно интересуемся одной конкретной подгруппой H, мы будем опускать лишние упоминания об H и обозначать смежный класс, представителем которого является x, как [x]. В основном понятие "представитель" мы будем использовать для нормальных подгрупп, что, как будет уточнено ниже, будет вполне согласовываться с понятием "представитель", введённым ранее для отношений эквивалентности.
Сделаем ещё два замечания.
Любые два смежных класса aH и bH равномощны: требуемая биекция есть ah ↦ bh.
Так как смежные классы не пересекаются, а всякая подгруппа должна содержать единицу, среди всех смежных классов по H подгруппой является только eH.

Из того, что каждый элемент группы G попадает в один и только один смежный класс, и из того, что смежные классы равномощны, вытекает теорема Лагранжа, связывающая количество смежных классов по подгруппе с количествами элементов в группе и подгруппе.

Теорема. Пусть G – группа и H – подгруппа в ней. Если порядок G равен n, порядок H равен k и индекс H в G равен j, то n = kj.
Несколько упрощая ситуацию, суть теоремы в том, что если множество G разбито на j непересекающихся подмножеств и в каждом подмножестве k элементов, то во множестве G элементов будет kj штук.

Теорема Лагранжа верна и для конечного, и для бесконечного случая (в бесконечном нужно уточнить арифметику кардиналов). Для конечных групп легко можно вывести следствие: порядок подгруппы является делителем порядка группы. Это простое следствие, но с его помощью мы несколько позднее докажем некоторые важные утверждения. Пока же обсудим ещё некоторые детали смежных классов, связанные с нормальными группами.
Тот факт, что H является нормальной подгруппой в G, мы будем обозначать как H◅G. Ввиду следствия из теоремы Лагранжа, нормальные подгруппы в G иногда называют нормальными делителями группы G.

Теорема. Подгруппа H является нормальной в G тогда и только тогда, когда для любого g из G и для любого h из H верно, что ghg’ ∈ H.
Доказательство. Пусть H – нормальная подгруппа. Тогда для любого g из G верно, что gH = Hg. Так как множества равны, то если мы умножим и левую, и правую часть справа на g’, то получим равные результаты, - то есть (gH)g’ = (Hg)g’. Отсюда gHg’ = He = H. То есть для любого h верно, что ghg’ ∈ H.
Если же для любых g из G и h из H верно, что ghg’ ∈ H, то gHg’ ⊂ H и g’Hg⊂H. Если мы умножим соответственно справа и слева на g, то получим gH⊂Hg и Hg⊂gH, откуда и следует, что gH = Hg.

Элемент axa’ называется сопряжённым к элементу x с помощью элемента a. Используя понятие сопряженного элемента, предыдущую теорему можно переформулировать так: подгруппа является нормальной тогда и только тогда, когда вместе с каждым своим элементом содержит и всевозможные сопряжённые к нему. Такая формулировка представляется мне концептуально самой простой. Из неё ясно следует, что в любой группе G обе её несобственные подгруппы, - а именно, {e} и вся G, - являются нормальными подгруппами. Кроме того, очевидно, что если H⊂G’⊂G – три вложенных группы и H – нормальная подгруппа в G, то H – нормальная подгруппа и в G’.

Пусть H – нормальная подгруппа в G. Тогда мы можем ввести в G регулярное отношение эквивалентности, объявив x и y эквивалентными, то есть x~y, если смежные классы этих элементов по подгруппе H равны. Тривиально проговорив определение, можно понять, что это действительно отношение эквивалентности. Также нетрудно проверить, что это действительно регулярное отношение, пусть a~b: тогда aH = bH и для любого x верно, что xaH = xbH, то есть xa~xb, и отношение стабильно слева; H – нормальная подгруппа, значит, aH = Ha = Hb, и для любого x верно, что Hax = Hbx, откуда axH = bxH, то есть ax~bx, и отношение стабильно справа.
Факторгруппа G по отношению эквивалентности ~, заданному подгруппой H, называется факторгруппой по подгруппе H и обозначается G/H. Элементами этой факторгруппы будут в точности классы смежности по подгруппе H (если два элемента принадлежат одному и тому же классу эквивалентности, то они принадлежат одному и тому же смежному классу, а смежные классы не пересекаются). Для этой факторгруппы справедливо всё то, что мы сказали выше про факторгруппу. В частности, класс однозначно определяется своим представителем; композицией классов aH и bH будет класс abH.

Итак, нормальная подгруппа позволяет построить факторгруппу. Теперь я хочу показать, что каждая факторгруппа может быть получена факторизацией по некоторой нормальной подгруппе.
Пусть G – группа, и пусть [G] – её факторгруппа. Я напомню, что это значит. [G] состоит из непересекающихся подмножеств G, операция композиции в [G] есть некая операция композиции подмножеств G. Есть некий естественный гомоморфизм G→ [G], с помощью которого всякий элемент x из G однозначно определяет содержащий его класс [x] из [G]. Композиция классов [a] и [b] есть класс [ab].
Сначала рассмотрим нейтральный элемент e группы G и его класс эквивалентности [e], являющийся нейтральным элементом в [G]. Я утверждаю, что [e] – подгруппа в G. Чтобы доказать это, я воспользуюсь определением подгруппы. Понятно, что e ∈ [e]. Если x∈[e], то [x] = [e], отсюда [x] = [e] = [xx’] = [x][x’] = [e][x’] = [x’], поэтому x’∈ [e]. Наконец, если a и b – элементы [e], то [a]=[b]=[e] и, так как [e] = [e][e] = [a][b] = [ab], заключаем, что ab – элемент [e].
Теперь я утверждаю, что класс эквивалентности [e] – не просто подгруппа, но нормальная подгруппа в G. Пусть a – произвольный элемент G. Рассмотрим смежный класс a[e]. Я докажу, несколько многословным способом, что он равен классу эквивалентности [a].
При естественном гомоморфизме элементы смежного класса a[e]переходят в элементы класса эквивалентности [a][e] = [ae] = [a] (каждый элемент имеет вид ax, x∈[e], образ этого элемента при гомоморфизме есть [a][x]). То есть a[e] ⊂[a]. Предположим теперь, что некий произвольный b есть элемент [a], - сразу заметим, что это означает, что [b] = [a]. Тогда, так как G – группа, уравнение "ax = b" однозначно разрешимо относительно x. То есть существует единственный такой x, что ax = b. Тогда [ax] = [a][x] = [b] = [a], и [x] – нейтральный элемент. Из единственности нейтрального элемента следует, что [x] = [e]. Следовательно, x ∈ [e] и b∈ a[e]. Поэтому [a] ⊂ a[e]. Таким образом, a[e]= [a]. Совершенно аналогично, лишь тривиально переставив буквы, можно доказать, что [e]a = [a]. Так как равные одному и тому же равны между собой, a[e] = [e]a и потому [e] – нормальная подгруппа. Из этих построений также следует, что если взять факторгруппу G по подгруппе [e], то получится в точности группа [G].

Итак, всякая факторгруппа группы G есть G/H для некоторой H◅G. Приём, который я использовал при доказательстве этого утверждения (составление уравнения в группе и переход с помощью гомоморфизма от соотношений в группе к соотношениям в факторгруппе), – довольно любопытный способ изучения алгебраических объектов.

Обратимся теперь подробнее к гомоморфизмам, точнее, к их образам и ядрам. Нетрудно проверить, что ядро гомоморфизма из G с нейтральным элементом e в какую-то другую группу [G] с нейтральным элементом [e] является нормальной подгруппой в G. В самом деле, рассмотрим полный прообраз [e] и проверим свойства подгруппы. Пусть f – гомоморфизм. Гомоморфизм f переводит нейтральный элемент e в нейтральный элемент [e], поэтому e – элемент ядра. Если x – элемент ядра, то, так как f(x) = [e] и xx’ = e, можно утверждать, что [e] = f(e) = f(xx’) = f(x)f(x’) = [e]f(x’) = f(x’), то есть x’ тоже элемент ядра. Если x и y входят в ядро, то f(x) = [e] и f(y) = [e], поэтому [e] = f(x)f(y) и, по свойству гомоморфизма, f(x)f(y) = f(xy) и таким образом xy входит в ядро. Свойства 1-3 выполняются, поэтому ядро – подгруппа. Нормальность же следует из того, что [e] – нейтральный элемент в [G]. Аналогично можно проверить, что образ гомоморфизма также является подгруппой (причём нормальной, если гомоморфизм сюръективен). Образ гомоморфизма мы часто будем называть гомоморфным образом группы.

Обобщая вышесказанное, можно доказать широко используемую теорему о гомоморфизме: гомоморфный образ группы изоморфен факторгруппе по ядру гомоморфизма.
Точнее она формулируется так. Пусть G и H – группы, и пусть f:G→H – гомоморфизм. Тогда:
1. Ker(f) – нормальная подгруппа в G
2. Im(f) – подгруппа в H
3. Im(f) изоморфно G/Ker(f) Из неё следует, что если f сюръективен, то H изоморфна G/Ker(f).
Позднее я докажу эту теорему (первую из трёх популярных теорем об изоморфизме) с помощью теории категорий.

Теперь ещё пара слов о нормальных подгруппах. Ясно, что в абелевой группе всякая подгруппа нормальная. Пусть G – абелева группа, в которой операция записана аддитивно (то есть значком +), и M◅G. Тогда смежный класс a+M называется классом вычетов по модулю M, а факторгруппа G/M называется фактормодулем G по модулю M. По вышесказанному, два элемента a и b эквивалентны, если их смежные классы по подгруппе M равны, то есть если a+M = b+M. В терминологии этого абзаца, два эквивалентных элемента называются сравнимыми по модулю M и обозначаются как a ≡ b (mod M).
>> No.148436 Ответ
Пусть M – множество.
Декартово произведение M×M – это множество всех упорядоченных пар элементов M.
Отношения на множестве M – это подмножества декартова произведения M×M.
Если ~ - отношение, то утверждение, что пара (a,b) ∈ ~, записывается как a~b.
Отношение называется рефлексивным, если x~x.
Отношение называется симметричным, если x~y влечёт y~x.
Отношение называется транзитивным, если x~y и y~z влекут x~z.
Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение называется отношением эквивалентности.

Мы будем говорить, что множество M разбито на подмножества A,B,C,…, если объединение этих подмножеств равно M и они попарно не пересекаются.
Всякое отношение эквивалентности есть разбиение множества M на непересекающиеся подмножества, называемые классами эквивалентности.
В самом деле, для каждого элемента m∈M рассмотрим множество Xm всех x∈M таких, что x~m. Ясно, что из-за рефлексивности m∈Xm, поэтому Xm не пусты и их объединение равно M. Кроме того, если Xm и Xn пересекаются, то они равны, - это следует из транзитивности и симметричности.
Обратно, всякое разбиение множества M на непересекающиеся классы задаёт отношение эквивалентности. Два элемента эквивалентны, если принадлежат одному классу.

Пусть f – отображение (синоним: функция) X→Y.
Если f(x) = y, то x мы будем называть прообразом y, y – образом x.
Множество всех таких x из X, что f(x) = y, мы будем называть полным прообразом y, или слоем над y.
Если M – подмножество X, то f(M) есть подмножество в Y, составленное из образов всех элементов M.
Множество f(X) называется образом отображения f (или образом множества X).

Отображение называется сюръективным, если f(X) = Y. Если отображение не сюръективно, то у некоторых элементов Y полный прообраз является пустым множеством.
Отображение называется инъективным, если из того, что x≠x’ следует, что f(x) ≠f(x’), то есть слой элемента состоит не более чем из одного элемента.
Отображение называется биективным, если оно инъективно и сюръективно.
Отображение idX: X→X называется тождественным, если idX(x) = x.
Композицией g∘f отображений g и f называется отображение, отображающее элемент x в элемент g(f(x)).
Отображение g:Y→X называется обратным для отображения f:X→Y, если g∘f = idX.
Отображение имеет обратное тогда и только тогда, когда оно биективно.
>> No.148437 Ответ
Извинения за задержку, двойные извинения за возможные ошибки и глупости. Следующие несколько постов на подходе. Темы - образующие и соотношения, теорема Жордана-Гёльдера и другие классические теоремы, основная теорема об абелевых группах.
>> No.148438 Ответ
>>148436
> Всякое отношение эквивалентности есть разбиение множества M
всякое отношение эквивалентности задаёт разбиение множества M, конечно
>> No.148644 Ответ
Файл: 51kXcuD-I2L._SX258_BO1,204,203,200_.jpg
Jpg, 25.95 KB, 260×343 - Нажмите на картинку для увеличения
edit Find source with google Find source with iqdb
51kXcuD-I2L._SX258_BO1,204,203,200_.jpg
>> No.148645 Ответ
>>147901
Ты няша, охуенно излагаешь. Добра тебе.
такая-то ностальгия
>> No.148672 Ответ
>>148020
Когда впервые читал книги Вавилова, подумал, что это какой-то поехавший графоман с лютым самомнением и любовью с цитатам балуется.
Дико раздражали его "Во всех учебниках абстрактной алгебры эта теорема доказывается через пизду или вовсе неверно, и лишь я, умный и красивый, сейчас все правильно сделаю".
А потом этот графоман стал моим преподом. И я даже на теорию категорий и доминошки к нему ходил на первом курсе.
>> No.148674 Ответ
>>148672
Я тебе завидую.
>> No.148675 Ответ
Файл: 14313316604430.jpg
Jpg, 178.05 KB, 1080×1093 - Нажмите на картинку для увеличения
edit Find source with google Find source with iqdb
14313316604430.jpg
>>148674
Два чаю.
>> No.148676 Ответ
>>148672
> Дико раздражали его "Во всех учебниках абстрактной алгебры эта теорема доказывается через пизду или вовсе неверно, и лишь я, умный и красивый, сейчас все правильно сделаю".
По крайней мере, он пытается доказывать по-человечески. Такое не часто увидишь в учебниках алгебры.
Когда же у тех же топологов человеческие доказательства — обычное дело, которым никого не удивишь.
>> No.148697 Ответ
>>148676
Как есть по-человечески и не по-человечески?
>> No.148698 Ответ
Файл: Консекты-Вавилова.rar
Rar, 17970.00 KB, 0 файлов
Ваши настройки цензуры запрещают этот файл.
r-18g
>>148697
Ладно, держите что есть.
Вавилов вообще плохо отзывается о путешествии своих книг за пределами матмеха, мол, каждая из них не является законченной (там на самом деле отсутствуют целые главы). Однако у каждого первого 239-ника найдется как минимум его "Теория множеств", так что я не буду испытывать душевные терзания.
Но незнакомых с Вавиловым предупреждаю у мудацкой верстке, цитатках и импульсивных утверждениях.
А еще на лекториуме куча его лекций висит, в основном для 1-2 курсов.
>> No.148721 Ответ
>>148698
Большое спасибо, анон.
>> No.148724 Ответ
Файл: 1451406984879.png
Png, 0.99 KB, 300×20 - Нажмите на картинку для увеличения
edit Find source with google Find source with iqdb
1451406984879.png
>>148698
Открыл рандомный файл и прочитал первую попавшуюся на глаза фразу.
> > Q: How many mathematicians does it take to screw in a light bulb?
> > A: None. It’s left to the reader as an exercise.
Всегда считал такие шутки тупыми, но с этой адово лолировал.
>> No.148728 Ответ
Файл: 111111.jpg
Jpg, 20.54 KB, 460×317 - Нажмите на картинку для увеличения
edit Find source with google Find source with iqdb
111111.jpg
>>148698
Благодарю, анон.

>>148724
Действительно лол
>> No.148784 Ответ
Нужно найти базис подпространства в R^4 заданного системой:
2x + 2y + z + v = 3 и x + y + 2z + 2v = 3

Я могу угадать (0,1,1,0), но как прийти аналитически к ответу я не знаю. Вообще говоря, шаблоны для решения таких задач существуют, или нужно чтоб уравнения были однородными?
>> No.148785 Ответ
>>148784
Подпространство обязано содержать нуль. Но точка (0,0,0,0) не удовлетворяет обоим уравнениям системы. Поэтому решения системы не образуют пространство.
>> No.148786 Ответ
>>148784
Ох, и было бы здорово, если бы кто-нибудь проверил пару задачек у меня:

1) Задайте линейными уравнениями векторное пространство в арифметическом пространстве R^3, порожденное векторами
а) (1,1,1) и (1,1,-1); б) (1,1,1) и (2,3,4)

2) Предложите набор векторов, порождающих в R^3 векторное подпространство
а) x + y + z = 0; б) x + 2y + 3z = 0

1.a) x - y = 0; 1.б) x - 2y + z = 0; 2.а) (2,-1,-1) и (1,7,-8); 2.б) (3,0,-1) и (1,1,-1)
>> No.148787 Ответ
>>148785
Блин, точно! Спасибо...
>> No.148854 Ответ
Файл: дватри-просто.png
Png, 0.87 KB, 300×20 - Нажмите на картинку для увеличения
edit Find source with google Find source with iqdb
дватри-просто.png
>>148786
Капча верно оценивает простоту алгоритма самопроверки:
1) убедиться, что все векторы, на которые натянуто подпространство, удовлетворяют уравнению. Тогда ПП, задаваемое уравнением, по меньшей мере содержит натянутое.
2) убедиться, что размерность задаваемого уравнением ПП равна количеству лин. независимых векторов.
3) profit.

в твоем случае все ок
>> No.148855 Ответ
Файл: тайны-кабинке.png
Png, 0.85 KB, 300×20 - Нажмите на картинку для увеличения
edit Find source with google Find source with iqdb
тайны-кабинке.png
>>148854
> 2) <...> размерность задаваемого уравнением ПП <...>
равна <размерность пространства> - <число линейно независимых уравнений>. В случае одного уравнения это очевидно 1
>> No.148895 Ответ
>>148854
>>148855
Ага, вот второй пункт я не додумался сделать. Спасибо, анончик!! На самом деле я не очень комфортно себя чувствую с линалом, нашел в интернете алгоритм и по нему сделал.

Только под спойлером в конце не 1, а 2 должно быть, не так ли?
>> No.149252 Ответ
Скоро будет продолжение.
>> No.149264 Ответ
Файл: 062d21139342f82688afee94ed066b8e.png
Png, 224.54 KB, 750×1200 - Нажмите на картинку для увеличения
edit Find source with google Find source with iqdb
062d21139342f82688afee94ed066b8e.png
>>149252
Ура. А то я уж заждался.
>> No.149689 Ответ
Оп няшка и хороший человек.
>> No.149693 Ответ
>>149689
Спасибо, няша. Только я медленный. Очень.
>> No.150080 Ответ
Файл: 4c5986d3a09e46f187193628461c894e.png
Png, 1392.79 KB, 1050×1500 - Нажмите на картинку для увеличения
edit Find source with google Find source with iqdb
4c5986d3a09e46f187193628461c894e.png
Анон, я тут мимопроходил и решил спросить.
Мне не нравится часть книг по алгебре, у меня сейчас не настолько сильная база и много времени, чтобы разбираться глубоко в теории. Мне нравится более простой язык описания, и я слышал, что в США книги по математическим наукам написаны в более прикладном ключе.
Погуглил недавно зарубежные книги и мне действительно доставило сильнее. Это норма или нет? И вообще, анон, доставь тогда книжек на английском, благо, язык в них не такой сложный.
>> No.150082 Ответ
>>150080
> Это норма или нет?
Да. В среднем, русскоязычные книги более «концентрированные» (что не обязательно является чем-то плохим). Но есть много книг, написанных дубово и с формализмом вместо смысла.
> И вообще, анон, доставь тогда книжек на английском, благо, язык в них не такой сложный.
Algebra: Chapter 0.
>> No.151734 Ответ
>>149252
Нескоро. Мде.
>> No.152007 Ответ
Взлольнул, увидев конспекты Вавилова на доброчане.
>> No.152585 Ответ
Вас форсанули на двачах, как у вас тут, няши?
>> No.152587 Ответ
>>152585
Загниваем-с.
>> No.152590 Ответ
>>152587
Хэштег: живите! Тред милый, кстати, может и задержусь у вас :3 Только я по С*-алгебрам больше.
>> No.152591 Ответ
>>152590
Так ведь в чем дело, нужно критическую массу анонимуса накопить. Иначе никак. Капча дружески поддерживает: яркость найдя
>> No.152603 Ответ
>>152585
Слоупочим же.
>> No.153941 Ответ
>>152603
Слоупочим.
>> No.153942 Ответ
>>153941
Очень. Хотя я уже дописал продолжение. Осталось только вычитать его, чтобы совсем глупых опечаток не было.
>> No.153944 Ответ
>>153942
А мы тут пока тред побампуе! к: появился используй. Мудро!
>> No.153985 Ответ
Ебать тут у вас кладбище.
>> No.153995 Ответ
>>153985
Кладбище - это хорошо.
>> No.154001 Ответ
Скиньте, пожалуйста, в этот тред ссылку на /ю, на сам раздел. Мне в оверчане надо в нужном месте чтоб открылось. Будьняшка, добронон!
>> No.154013 Ответ
>> No.154022 Ответ
>>154013
Спасибо! Теперь все замечательно.
>> No.154587 Ответ
Немногие помнят, что тут и такой тредик есть.
>> No.155147 Ответ
Файл: 12903450335133.jpg
Jpg, 269.36 KB, 500×676 - Нажмите на картинку для увеличения
edit Find source with google Find source with iqdb
12903450335133.jpg
>> No.155148 Ответ
>>155147
Ну чего вы как не на Доброчане? Напишу я, не торопите.
>> No.155153 Ответ
>>155148
О, оп скорее жив чем мёртв. Пиши, оп, мы тебя любим!
>> No.155155 Ответ
Файл: 1442247019956.jpg
Jpg, 39.26 KB, 704×396 - Нажмите на картинку для увеличения
edit Find source with google Find source with iqdb
1442247019956.jpg
Потом скомпилируем и будет методичка доброчана по алгебре. Вот красота.
>> No.155435 Ответ
Файл: 4356.jpg
Jpg, 166.73 KB, 840×647 - Нажмите на картинку для увеличения
edit Find source with google Find source with iqdb
4356.jpg
Аноны, объясните дауну как это решать. пожалуйста.
>> No.155439 Ответ
>>155435
Почему именно подчеркнутое, с остальным проблем нет?
Построить в автокаде и не париться.
>> No.155440 Ответ
>>155435
Находи стороны треугольника как длины векторов построенных на двух точках. Потом по формуле Герона площадь. Из скалярного произведения углы между векторами.
>> No.155445 Ответ
>>155440
А 4.6?
>>155439
Просто это мой вариант.
>> No.155455 Ответ
Файл: q8q2Lje76X0.jpg
Jpg, 67.50 KB, 600×450 - Нажмите на картинку для увеличения
edit Find source with google Find source with iqdb
q8q2Lje76X0.jpg
>>155445
Работа - скалярное произведение силы на перемещение. Находишь вектор перемещения, считаешь скалярное произведение. Твое здоровье, няша.
>> No.155465 Ответ
>>155455
Благодарю.
>> No.156919 Ответ
Оп, ты где?
>> No.156921 Ответ
>>156919
Тута.
>> No.157399 Ответ
Сто постов
> Где оп?
> слоупочим
> ждём
> где оп?

Окаааа~й.
>> No.157400 Ответ
>>157399
Ну блин. Тут я, никуда не пропадаю. Просто у меня внезапно технические проблемы.
>> No.157401 Ответ
>>147901
Не сдал сегодня Винбергу экзамен. Эх.
>> No.157403 Ответ
>>157401
А кто сдал.
>> No.157404 Ответ
>>157403
При мне ему никто не сдал, но меня отправили вторым, он обычно долго принимает.
>> No.157405 Ответ
>>157404
Что в билете было?
>> No.157406 Ответ
>>157405
Коммутант групп Sn, An.(Не знал как доказать при н=4 и меньше) Количество изоморфизмов между полями решения многочлена.(Знал только идею доказательство индукцией по дефекту). Группа Галуа.
>> No.157407 Ответ
>>157406
Но послали меня за то, что почти ничего не знал из представлений.
>> No.157408 Ответ
>>157406
И это всё в одном билете? Нифига ж себе, однако.
>> No.157409 Ответ
>>157408
Ну а там же не очень много. Про представления это уже был допвопрос после задачи.
>> No.157410 Ответ
>>157409
Когда пересдача?
>> No.157412 Ответ
>>157410
Достаточно далеко, чтобы я успел все выучить.
>> No.157509 Ответ
>>157401
> Винбергу
Он ещё жив и даже принимает экзамены? Охуеть.
>> No.157525 Ответ
>>157509
Живее всех живых, читает курс алгебры даже. Ну и как преподаватель он отличный, тут ничего не скажешь.
>> No.159659 Ответ
Файл: IMG_4201.JPG
Jpg, 66.03 KB, 920×613 - Нажмите на картинку для увеличения
edit Find source with google Find source with iqdb
IMG_4201.JPG
Анон, поделись Aluffi P. — Algebra: Chapter 0 если есть. Я с ios планшета, торренты не поюзать.
>> No.159671 Ответ
>>159659
Яблофагам даже торрентов не завезли? Впрочем, неудивительно.
Но я сегодня добрый.
https://drive.google.com/file/d/0B5thEFwXjxvTRHNfOXp5VHZDYmM/view?usp=sharing
>> No.159703 Ответ
>>159671
раз такой добрый дай версию последнего года
http://www.math.fsu.edu/~aluffi/algebraerrata.2009/Errata.html
>> No.159704 Ответ
>>159703
Не уверен, что она вообще есть в интернетах. Мне не встречалась, во всяком случае.
>> No.159773 Ответ
Файл: IMG_4225.GIF
Gif, 1023.34 KB, 500×500 - Нажмите на картинку для увеличения
edit Find source with google Find source with iqdb
IMG_4225.GIF
>>159671
А "The Elements: Books I–XIII – Complete and Unabridged", (2006) Translated by Sir Thomas Heath, доставишь?
>> No.159774 Ответ
>> No.160055 Ответ
Файл: aluffi.jpg
Jpg, 4239.23 KB, 1400×1150 - Нажмите на картинку для увеличения
edit Find source with google Find source with iqdb
aluffi.jpg
>>159659
>>159703
>>159704
Нормальная электронная версия 2009 года.
>> No.160056 Ответ
>>160055
Zipjpg
>> No.160103 Ответ
>>160056
Мерзкий траль.
>> No.160104 Ответ
>>160103
Почему? У меня все открылось. Может, ты что-то не понял?
>> No.160105 Ответ
>>160104
Удваиваю, все открыл.
>> No.160113 Ответ
>>160104>>160105
Не понял, там правда что-то есть?
>> No.160115 Ответ
>> No.160117 Ответ
>>160104
И у меня получилось. 7зип не смог в aluffi.zip, но смог в aluffi.rar, хотя запаковано вроде одним из алгоритмов zip.
>> No.160118 Ответ
>>160117
Чертовщина какая-то. Только winrar сумел открыть. Спасибо за хинт.

>>160056
Извини, няша. Был неправ насчёт мерзкого траля.


Пароль:

[ /b/ /u/ /rf/ /dt/ /vg/ /r/ /cr/ /lor/ /mu/ /oe/ /s/ /w/ /hr/ ] [ /a/ /ma/ /sw/ /hau/ /azu/ ] [ /tv/ /cp/ /gf/ /bo/ /di/ /vn/ /ve/ /wh/ /fur/ /to/ /bg/ /wn/ /slow/ /mad/ ] [ /d/ /news/ ] [ Главная | Настройки | Закладки | Плеер ]